17. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Дана равнобедренная трапеция с основаниями \( a = 8 \) и \( b = 2 \). Угол при основании равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужна её высота. Опустим высоты из вершин верхнего основания на нижнее. Это разделит нижнее основание на три отрезка. Средний отрезок равен верхнему основанию, то есть 2. Боковые отрезки равны \( \frac{8 - 2}{2} = 3 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и одним из боковых отрезков нижнего основания. Угол при основании равен \( 45^{\circ} \). В таком треугольнике высота \( h \) равна боковому отрезку нижнего основания. Значит, \( h = 3 \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Подставим значения:

\( S = \frac{8 + 2}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \)

Ответ: 15