17. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, в один из углов между боковой стороной и основанием равен 45. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где основания BC = 2 и AD = 8. Угол между боковой стороной и основанием равен 45 градусов. Пусть это будет угол при основании AD.

Проведём высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD.

Треугольники ABH и DCK — прямоугольные.

Так как трапеция равнобедренная, то AH = KD.

AD = AH + HK + KD. Поскольку BCKH — прямоугольник, то HK = BC = 2.

Тогда 8 = AH + 2 + KD. Так как AH = KD, получаем 8 = 2*AH + 2, откуда 2*AH = 6, значит AH = 3.

В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 45 градусов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то угол ABH = 180 - 90 - 45 = 45 градусов.

Следовательно, треугольник ABH — равнобедренный, а значит, BH = AH = 3. Высота трапеции равна 3.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где a и b — основания, h — высота.

\( S = \frac{2+8}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \)

Ответ: 15.