17. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Пусть данная равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD. Основания равны \( a = 8 \) (большее основание AD) и \( b = 4 \) (меньшее основание BC). Угол при большем основании, например, \(\angle DAB = 45^{\circ}\).

Чтобы найти площадь трапеции, воспользуемся формулой: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.

Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В равнобедренной трапеции из вершины меньшего основания на большее основание опускают две высоты, которые делят большее основание на три отрезка. Средний отрезок равен меньшему основанию, а два крайних отрезка равны между собой.

\( AH = HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол \(\angle BAH = 45^{\circ}\), и \( AH = 2 \).

Так как \(\angle BAH = 45^{\circ}\) и \(\angle AHB = 90^{\circ}\), то \(\triangle ABH\) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, \( BH = AH \).

Высота трапеции \( h = BH = AH = 2 \).

Теперь найдем площадь трапеции:

\( S = \frac{8 + 4}{2} \cdot 2 \)

\( S = \frac{12}{2} \cdot 2 \)

\( S = 6 \cdot 2 \)

\( S = 12 \)

Ответ: 12