17. В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 64°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 81°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

Дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD || BC.

1. \( ∠ D = 64° \).
2. \( ∠ CAD = 81° \).
3. Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании AD равны: \( ∠ DAB = ∠ D = 64° \).
4. Угол между диагональю AC и основанием AD: \( ∠ CAD = 81° \).
5. Угол \( ∠ ADC = 64° \).
6. Угол между диагональю AC и стороной CD: \( ∠ ACD \).
7. В треугольнике ACD: \( ∠ CAD + ∠ ADC + ∠ ACD = 180° \)
8. \( 81° + 64° + ∠ ACD = 180° \)
9. \( 145° + ∠ ACD = 180° \)
10. \( ∠ ACD = 180° - 145° = 35° \)
11. Так как AD || BC, то внутренние накрест лежащие углы равны. Диагональ AC пересекает параллельные прямые AD и BC.
12. \( ∠ ACB = ∠ CAD \) (как внутренние накрест лежащие).
13. \( ∠ CAD = 81° \).
14. Следовательно, \( ∠ ACB = 81° \).
15. Нас просят найти угол между диагональю AC и меньшим основанием трапеции. Меньшее основание — BC. Угол между диагональю AC и основанием BC — это \( ∠ ACB \).

Ответ: 81