17. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 62° и ∠BDC = 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как AB = CD, трапеция ABCD является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Нам даны:

• \( \angle BDA = 62^{\circ} \)
• \( \angle BDC = 42^{\circ} \)

Найдем \( \angle ADC \):

$$ \angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 62^{\circ} + 42^{\circ} = 104^{\circ} $$

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны:

$$ \angle BCD = \angle ADC = 104^{\circ} $$

Углы при основании BC также равны, но нам они не понадобятся напрямую.

В равнобедренной трапеции диагонали равны, то есть \( AC = BD \). Также, в равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые диагоналями от боковых сторон, равны, то есть \( AO = DO \) и \( BO = CO \).

Рассмотрим треугольник BCD. Мы знаем \( \angle BDC = 42^{\circ} \) и \( \angle BCD = 104^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$$ \angle CBD = 180^{\circ} - \angle BCD - \angle BDC = 180^{\circ} - 104^{\circ} - 42^{\circ} = 180^{\circ} - 146^{\circ} = 34^{\circ} $$

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем \( \angle BDA = 62^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны. Значит, \( \angle BAD = \angle ADC = 104^{\circ} \) — это неправильно, \( \angle BAD \) и \( \angle CDA \) являются углами при одном основании. Углы при основании AD равны \( \angle BAD \) и \( \angle ADC \), а углы при основании BC равны \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит, \( \angle BAD = \angle CDA = 104^{\circ} \) - это неверно. Правильно: \( \angle DAB = \angle CDA = 104^{\circ} \) (или \( \angle ABC = \angle BCD \)).

Давайте найдем \( \angle BAD \). В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Значит:

$$ \angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ} $$

$$ \angle BAD + 104^{\circ} = 180^{\circ} $$

$$ \angle BAD = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} $$

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

$$ \angle ABD + \angle BDA + \angle BAD = 180^{\circ} $$

$$ \angle ABD + 62^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ} $$

$$ \angle ABD + 138^{\circ} = 180^{\circ} $$

$$ \angle ABD = 180^{\circ} - 138^{\circ} $$

$$ \angle ABD = 42^{\circ} $$

Ответ: 42