17. В восьми ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно и меньше 130?

Задание 17. Шары в ящиках

Условие:

• 8 ящиков с красными, синими и белыми шарами.
• Число синих шаров в каждом ящике = сумме белых шаров во всех остальных ящиках.
• Число белых шаров в каждом ящике = сумме красных шаров во всех остальных ящиках.
• Общее количество шаров чётное и меньше 130.

Обозначения:

• Пусть \( k_i \), \( s_i \), \( b_i \) — количество красных, синих и белых шаров в \( i \)-м ящике соответственно.
• Пусть \( K \), \( S \), \( B \) — общее количество красных, синих и белых шаров во всех ящиках.
• \( K = \sum_{i=1}^8 k_i \), \( S = \sum_{i=1}^8 s_i \), \( B = \sum_{i=1}^8 b_i \)

Условия задачи в виде уравнений:

Для любого ящика \( i \) (от 1 до 8):

1. \( s_i = S - b_i \) (число синих в ящике \(i\) равно общему числу синих минус белые в этом же ящике).
2. \( b_i = K - k_i \) (число белых в ящике \(i\) равно общему числу белых минус красные в этом же ящике).

Рассмотрим общее количество шаров:

Общее количество синих шаров \( S = \sum_{i=1}^8 s_i = \sum_{i=1}^8 (S - b_i) = 8S - \sum_{i=1}^8 b_i = 8S - B \).
Отсюда: \( S = 8S - B \) \( \implies B = 7S \).

Общее количество белых шаров \( B = \sum_{i=1}^8 b_i = \sum_{i=1}^8 (K - k_i) = 8K - \sum_{i=1}^8 k_i = 8K - K \).
Отсюда: \( B = 8K - K = 7K \).

Итак, мы получили соотношения: \( B = 7S \) и \( B = 7K \). Это означает, что \( 7S = 7K \), следовательно, \( S = K \).

Общее количество шаров \( T = K + S + B \).
Подставим \( S = K \) и \( B = 7K \):
\[ T = K + K + 7K = 9K \]

Мы знаем, что общее количество шаров \( T \) чётное и \( T < 130 \).

Так как \( T = 9K \), то \( T \) должно быть кратно 9. Среди чисел, кратных 9, чётными являются только те, где \( K \) чётно (так как 9 — нечётное число).
Ищем чётное число \( T < 130 \), которое делится на 9.

Перечислим числа, кратные 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126.

Из них чётные: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126.

Теперь проверим, может ли \( T \) быть равно одному из этих чисел.

Если \( T=18 \), то \( 9K = 18 \implies K = 2 \). Тогда \( S=2 \), \( B=7K=14 \). Проверка: \( K+S+B = 2+2+14 = 18 \). Это возможно.

Если \( T=36 \), то \( 9K = 36 \implies K = 4 \). Тогда \( S=4 \), \( B=7K=28 \). Проверка: \( K+S+B = 4+4+28 = 36 \). Это возможно.

Если \( T=54 \), то \( 9K = 54 \implies K = 6 \). Тогда \( S=6 \), \( B=7K=42 \). Проверка: \( K+S+B = 6+6+42 = 54 \). Это возможно.

Если \( T=72 \), то \( 9K = 72 \implies K = 8 \). Тогда \( S=8 \), \( B=7K=56 \). Проверка: \( K+S+B = 8+8+56 = 72 \). Это возможно.

Если \( T=90 \), то \( 9K = 90 \implies K = 10 \). Тогда \( S=10 \), \( B=7K=70 \). Проверка: \( K+S+B = 10+10+70 = 90 \). Это возможно.

Если \( T=108 \), то \( 9K = 108 \implies K = 12 \). Тогда \( S=12 \), \( B=7K=84 \). Проверка: \( K+S+B = 12+12+84 = 108 \). Это возможно.

Если \( T=126 \), то \( 9K = 126 \implies K = 14 \). Тогда \( S=14 \), \( B=7K=98 \). Проверка: \( K+S+B = 14+14+98 = 126 \). Это возможно.

Дополнительное условие:

У нас 8 ящиков. В каждом ящике \( i \) есть \( k_i \), \( s_i \), \( b_i \) шары.

\( s_i = S - b_i \) и \( b_i = K - k_i \).

Из \( B = 7S \) и \( B = 7K \) следует, что \( S = K \).

Сумма шаров в каждом ящике: \( s_i + b_i = (S - b_i) + (K - k_i) = S + K - (b_i + k_i) \).

Так как \( S = K \), то \( s_i + b_i = 2K - (b_i + k_i) \) \( \implies s_i + b_i + k_i = 2K \).

Это означает, что в каждом ящике сумма шаров равна \( 2K \).
Сумма шаров во всех 8 ящиках: \( 8 \times (2K) = 16K \).

Мы знаем, что общее количество шаров \( T = K + S + B = K + K + 7K = 9K \).

Теперь у нас есть два выражения для общего количества шаров: \( T = 16K \) (сумма по ящикам) и \( T = 9K \) (сумма по цветам).

Это возможно только если \( K=0 \), но тогда \( T=0 \), что не является чётным числом меньше 130 и противоречит условиям задачи.

Перечитаем условия:

«Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках».

\( s_i = B - b_i \).

«Число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках».

\( b_i = K - k_i \).

Просуммируем первое условие по всем ящикам: \( Σ s_i = Σ (B - b_i) \)

\[ S = 8B - Σ b_i = 8B - B = 7B \]

Просуммируем второе условие по всем ящикам: \( Σ b_i = Σ (K - k_i) \)

\[ B = 8K - Σ k_i = 8K - K = 7K \]

Итак, \( S = 7B \) и \( B = 7K \).

Общее количество шаров \( T = K + S + B \).

Подставим \( B = 7K \) и \( S = 7B = 7(7K) = 49K \).

\[ T = K + 49K + 7K = 57K \]

Общее количество шаров \( T \) чётное и \( T < 130 \). \( T = 57K \).

Так как 57 — нечётное число, чтобы \( T \) было чётным, \( K \) должно быть чётным.

Перечислим значения \( T \), кратные 57:

• \( K=1 \implies T = 57 \) (нечётное)
• \( K=2 \text{ (чётное)} umpy \text{ } T = 57 \times 2 = 114 \) (чётное, < 130)
• \( K=3 \text{ (нечётное)} umpy \text{ } T = 57 \times 3 = 171 \) (> 130)

Наименьшее чётное \( T \), кратное 57 и меньшее 130, равно 114.

При \( T=114 \):

• \( K = T / 57 = 114 / 57 = 2 \)
• \( S = 7B = 7 \times (7K) = 49K = 49 \times 2 = 98 \)
• \( B = 7K = 7 \times 2 = 14 \)

Проверим: \( K + S + B = 2 + 98 + 14 = 114 \).

Теперь проверим условия для каждого ящика. Должна существовать возможность распределить шары так, чтобы выполнялись условия.

Например, один ящик с 2 красными шарами, второй с 14 белыми, а остальные 6 ящиков с 98 синими шарами. Но это не удовлетворяет условию, что в каждом ящике есть шары всех цветов (подразумевается).

Важно: Условия \( s_i = B - b_i \) и \( b_i = K - k_i \) должны выполняться для *каждого* ящика.

Пусть в первом ящике \( k_1=2, b_1=14, s_1=?? \).

\( s_1 = B - b_1 = 14 - 14 = 0 \).

\( b_1 = K - k_1 = 2 - 2 = 0 \).

Получаем противоречие: \( b_1=14 \) и \( b_1=0 \).

Это означает, что количество шаров каждого цвета в *каждом* ящике должно быть одинаковым, иначе условия не могут быть выполнены.

Пусть \( k_i = k \), \( s_i = s \), \( b_i = b \) для всех \( i \).

Тогда \( K = 8k \), \( S = 8s \), \( B = 8b \).

Условие 1: \( s = B - b = 8b - b = 7b \).

Условие 2: \( b = K - k = 8k - k = 7k \).

Итак, \( s = 7b \) и \( b = 7k \).

Общее количество шаров в одном ящике: \( k + s + b = k + 7b + b = k + 8b \).

Подставим \( b = 7k \): \( k + 8(7k) = k + 56k = 57k \).

Общее количество шаров во всех 8 ящиках: \( T = 8 \times (57k) = 456k \).

Условие: \( T \) чётное и \( T < 130 \).

Если \( k=1 \), то \( T = 456 \) (> 130).

Если \( k=0 \), то \( T=0 \).

Вернемся к первому подходу, где количество шаров могло различаться по ящикам.

\( S = 7B \), \( B = 7K \) \( umpy \text{ } T = 57K \).

\( T \) чётное, \( T < 130 \). \( K \) должно быть чётным. \( K=2 \)

\( T = 57 \times 2 = 114 \).

\( K = 2 \), \( B = 7 \times 2 = 14 \), \( S = 7 \times 14 = 98 \).

\( K+S+B = 2 + 98 + 14 = 114 \).

Теперь нужно проверить, возможно ли такое распределение по 8 ящикам.

Для каждого ящика \( i \): \( s_i = B - b_i = 14 - b_i \) и \( b_i = K - k_i = 2 - k_i \).

Подставим второе в первое: \( s_i = 14 - (2 - k_i) = 12 + k_i \).

Мы имеем: \( k_i \), \( b_i = 2 - k_i \), \( s_i = 12 + k_i \).

Сумма шаров в ящике \( i \): \( k_i + b_i + s_i = k_i + (2 - k_i) + (12 + k_i) = 14 + k_i \).

Общая сумма шаров: \( T = Σ (14 + k_i) = 8 \times 14 + Σ k_i = 112 + K = 112 + 2 = 114 \).

Это совпадает с \( T=114 \).

Теперь нужно подобрать \( k_i \) так, чтобы \( k_i umpy \text{ } b_i = 2 - k_i umpy \text{ } s_i = 12 + k_i \) были неотрицательными целыми числами, и чтобы их сумма по всем ящикам давала \( K=2 \), \( B=14 \), \( S=98 \).

Из \( b_i = 2 - k_i \), следует, что \( k_i \) может быть только 0, 1 или 2.

Если \( k_i = 0 \): \( b_i = 2 \), \( s_i = 12 \). Сумма в ящике = 14.

Если \( k_i = 1 \): \( b_i = 1 \), \( s_i = 13 \). Сумма в ящике = 15.

If \( k_i = 2 \): \( b_i = 0 \), \( s_i = 14 \). Сумма в ящике = 16.

Чтобы сумма всех \( k_i \) была равна 2, нам нужно найти комбинацию этих значений.

Пусть у нас \( n_0 \) ящиков с \( k_i=0 \), \( n_1 \) ящиков с \( k_i=1 \), \( n_2 \) ящиков с \( k_i=2 \).

\( n_0 + n_1 + n_2 = 8 \) (всего ящиков).

\( n_0 \times 0 + n_1 \times 1 + n_2 \times 2 = K = 2 \).

Из второго уравнения следует, что \( n_1 + 2n_2 = 2 \).

Возможные решения для \( n_1, n_2 \) (они должны быть неотрицательными целыми):

• Если \( n_2 = 0 \), то \( n_1 = 2 \). Тогда \( n_0 = 8 - 2 - 0 = 6 \).

Это означает:

• 6 ящиков с \( k_i=0, b_i=2, s_i=12 \).
• 2 ящика с \( k_i=1, b_i=1 \), \( s_i=13 \).

Проверим общее количество шаров:

Красные: \( 6 \times 0 + 2 \times 1 = 2 \) (Совпадает с \(K=2\)).

Белые: \( 6 \times 2 + 2 \times 1 = 12 + 2 = 14 \) (Совпадает с \(B=14\)).

Синие: \( 6 \times 12 + 2 \times 13 = 72 + 26 = 98 \) (Совпадает с \(S=98\)).

Общее количество шаров = \( 2 + 14 + 98 = 114 \).

Это удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 114