17. Вычислить: 1) $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4^n}$; 2) $\lim_{n\to\infty}(0,2)^n$; 3) $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{7n}\right)^n$; 4) $\lim_{n\to\infty}\left(\left(\frac{3}{5}\right)^n-2\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 17. Вычислить: 1) $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4^n}$; 2) $\lim_{n\to\infty}(0,2)^n$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $4>1$, то $\frac{1}{4^n}=\left(\frac14\right)^n\to0$.
Ответ: $0$.
Так как $|0,2|<1$, то $(0,2)^n\to0$.
Ответ: $0$.
Используем стандартный предел $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$:
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{7n}\right)^n=e^{1/7}.\]
Ответ: $e^{1/7}$.
Так как $\left|\frac35\right|<1$, то $\left(\frac35\right)^n\to0$. Поэтому
\[\lim_{n\to\infty}\left(\left(\frac35\right)^n-2\right)=0-2=-2.\]
Ответ: $-2$.

17. Вычислить: 1) \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4^n}\); 2) \(\lim_{n\to\infty}(0,2)^n\); 3) \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{7n}\right)^n\); 4) \(\lim_{n\to\infty}\left(\left(\frac{3}{5}\right)^n-2\right)\).