17. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — равнобедренная трапеция, где \( AB \) — меньшее основание, \( CD \) — большее основание. Проведём высоту \( BH \) из вершины \( B \) на основание \( CD \). Точка \( H \) делит \( CD \) на отрезки \( CH = 3 \) и \( HD = 5 \).

В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины большего основания, отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований. В данном случае, проведённая из конца меньшего основания, делит большее основание так, что больший отрезок равен полусумме оснований.

Обозначим меньшее основание \( a \) (то есть \( AB = a \)), большее основание \( b \) (то есть \( CD = 3 + 5 = 8 \)).

В равнобедренной трапеции от большего основания отсекаются отрезки, равные \( \frac{b-a}{2} \).

Проведём высоту \( AK \) из \( A \) на \( CD \). Тогда \( CK = HD = 5 \), а \( KH = AB = a \).

Но по условию, высота из конца меньшего основания делит большее основание на отрезки 3 и 5. Это значит, что отрезок, прилежащий к боковой стороне, равен 3, а отрезок, прилежащий к другой боковой стороне, равен 5.

В равнобедренной трапеции, если провести две высоты, то большее основание делится на три отрезка: \( \frac{b-a}{2} \), \( a \), \( \frac{b-a}{2} \).

В нашем случае, большее основание \( CD \) делится на отрезки \( CH = 3 \) и \( HD = 5 \).

Если \( BH \) — высота, то \( CH = 3 \) и \( HD = 5 \). Так как трапеция равнобедренная, то \( CH = \frac{CD - AB}{2} \) или \( HD = \frac{CD - AB}{2} \).

Поскольку \( HD = 5 \) — это больший отрезок, то он должен быть равен \( \frac{CD - AB}{2} \) или \( AB + \frac{CD - AB}{2} \).

Если \( HD = 5 \) и \( CH = 3 \), то \( CD = CH + HD = 3 + 5 = 8 \).

В равнобедренной трапеции, проведя две высоты, мы получаем, что отрезок, прилежащий к меньшему основанию, равен меньшему основанию, а два крайних отрезка равны \( \frac{b-a}{2} \).

Таким образом, \( CD = \frac{b-a}{2} + a + \frac{b-a}{2} \).

Из условия, что высота делит большее основание на отрезки 3 и 5, мы понимаем, что один из этих отрезков равен \( \frac{b-a}{2} \), а другой — \( a + \frac{b-a}{2} \) (или \( \frac{b-a}{2} \) + \( a \)) .

Значит, \( HD = 5 \) и \( CH = 3 \).

Так как трапеция равнобедренная, то \( HD = \frac{CD - AB}{2} \) или \( CH = \frac{CD - AB}{2} \).

Больший отрезок, \( 5 \), должен соответствовать \( HD \).

\( HD = 5 \). \( CH = 3 \).

\( CD = CH + HD = 3 + 5 = 8 \).

В равнобедренной трапеции, если провести высоту \( BH \), то \( CH = \frac{CD - AB}{2} \).

Мы знаем \( CD = 8 \) и \( CH = 3 \). Подставляем:

\[ 3 = \frac{8 - AB}{2} \]\[ 6 = 8 - AB \]\[ AB = 8 - 6 \]\[ AB = 2 \]

Проверим: \( \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). Значит, отрезки будут 3, 2, 3. В сумме 3+2+3=8.

Но по условию отрезки 3 и 5. Это значит, что отрезок, который ближе к боковой стороне, это 3, а отрезок, который включает меньшее основание и второй крайний отрезок, это 5.

Значит, \( CH = 3 \), а \( HD = 5 \).

В равнобедренной трапеции, если провести высоту \( BH \), то \( CH = \frac{CD - AB}{2} \).

В этом случае \( CH = 3 \).

\[ 3 = \frac{CD - AB}{2} \]\[ 6 = CD - AB \]

Также, \( HD = 5 \). Но \( HD \) состоит из \( AB + CH \) только если \( AB = CH \), что неверно.

Правильно: \( CD = CH + AB + DK \), где \( CH = DK = \frac{CD-AB}{2} \).

По условию, высота делит большее основание на отрезки 3 и 5. Это означает, что один из крайних отрезков равен 3, а отрезок, включающий меньшее основание, равен 5.

Значит, \( \frac{CD - AB}{2} = 3 \) и \( AB + \frac{CD - AB}{2} = 5 \).

Подставляем первое во второе:

\[ AB + 3 = 5 \]\[ AB = 5 - 3 \]\[ AB = 2 \]

Теперь проверим первое условие, зная \( AB = 2 \).

\[ \frac{CD - 2}{2} = 3 \]\[ CD - 2 = 6 \]\[ CD = 8 \]

Тогда большее основание \( CD = 8 \) состоит из отрезков \( 3 + 2 + 3 \), что соответствует условию, где отрезки 3 и 5.

Ответ: 2