17. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 17 и 4. Найдите длину основания ВС.

Решение:

Пусть CD = 17, а DA = 4. Так как трапеция равнобедренная, то основание AD делится высотой, проведенной из вершины C, на два отрезка: 17 и 4. Это возможно только в случае, если точка, в которой высота пересекает основание, находится вне отрезка AD. Исходя из рисунка, высота опущена из вершины C на основание AD. Пусть точка пересечения высоты (из C) с AD будет H. Тогда CH — высота. По условию, высота делит основание AD на отрезки длиной 17 и 4. Это означает, что AH = 4 и HD = 17, либо AH = 17 и HD = 4. Однако, если HD = 17, то AD = AH + HD = 4 + 17 = 21. Но по условию AD = 17 + 4 = 21. Если AH = 4 и HD = 17, то AD = 4 + 17 = 21. Если AH = 17 и HD = 4, то AD = 17 + 4 = 21. По условию, трапеция равнобедренная. Основание AD = 17 + 4 = 21. Высота, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 17 и 4. Это означает, что точка H падает на основание AD. Обычно, когда говорят, что высота делит основание, подразумевается, что она делит его на отрезки, если она опущена на это основание. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин одного основания на другое, отсекают равные отрезки. Пусть высота CH опущена из C на AD. Тогда AH = x, HD = y. AD = x + y. Если трапеция ABCD (AB || CD), то высоты, опущенные из B и C на AD, отсекут равные отрезки. Предположим, что высота из C делит AD на отрезки 4 и 17. Возможны два случая: 1) H лежит между A и D. Тогда AD = AH + HD. Если AH = 4 и HD = 17, то AD = 21. Если AH = 17 и HD = 4, то AD = 21. 2) H лежит вне отрезка AD. Но по условию, это основание AD. То есть H на AD. В равнобедренной трапеции, если из вершины C опустить высоту CH на основание AD, то точка H будет такой, что AH = (AD - BC)/2. Аналогично, если из вершины B опустить высоту BK на AD, то KD = (AD - BC)/2. Значит, AH = KD. Пусть AD - большее основание. Тогда CD - меньшее. Высота, проведённая из C, делит основание AD на отрезки 17 и 4. Это значит, что точка H (проекция C на AD) такова, что AH = 4 и HD = 17, или AH = 17 и HD = 4. Если AH = 4 и HD = 17, то AD = 21. В равнобедренной трапеции AD = AH + HD. Но также AH = (AD - BC)/2. Если AD = 21, то 4 = (21 - BC)/2 => 8 = 21 - BC => BC = 13. Тогда HD = AD - AH = 21 - 4 = 17. Это соответствует условию. Проверим второй случай: AH = 17, HD = 4. Тогда AD = 21. AH = (AD - BC)/2 => 17 = (21 - BC)/2 => 34 = 21 - BC => BC = -13. Это невозможно. Значит, AH = 4, HD = 17. Тогда AD = 21. BC = 13.

Ответ: 13.