17. Высота равностороннего треугольника равна 14 (см. рис. 201). Найдите его площадь, делённую на \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Решение:

Для равностороннего треугольника справедливы следующие формулы:

• Высота (h) = \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \), где 'a' — сторона треугольника.
• Площадь (S) = \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

Нам дана высота h = 14 см.

Сначала найдем длину стороны 'a', используя формулу высоты:

\( 14 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

Умножим обе части на 2:

\( 28 = a\sqrt{3} \)

Найдем 'a':

\( a = \frac{28}{\sqrt{3}} \) см.

Теперь найдем площадь треугольника, используя найденную сторону 'a':

\( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)

Подставим значение 'a':

\( S = \frac{\left(\frac{28}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{28^2}{3} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{784}{3} \cdot \sqrt{3}}{4} \)

\( S = \frac{784\sqrt{3}}{3 \cdot 4} = \frac{784\sqrt{3}}{12} \)

Сократим дробь:

\( S = \frac{196\sqrt{3}}{3} \) см².

Теперь нам нужно найти площадь, делённую на \( \frac{\sqrt{3}}{3} \):

\( \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{196\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} \)

При делении на дробь, мы умножаем на обратную дробь:

\( \frac{196\sqrt{3}}{3} · \frac{3}{\sqrt{3}} \)

Сокращаются \( \sqrt{3} \) и 3:

\( = 196 \) см².

Альтернативный способ:

Можно сначала выразить площадь через высоту:

Из \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) следует \( a = \frac{2h}{\sqrt{3}} \).

Подставим это в формулу площади \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \):

\( S = \frac{\left(\frac{2h}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{4h^2}{3} \sqrt{3}}{4} = \frac{4h^2\sqrt{3}}{3 \cdot 4} = \frac{h^2\sqrt{3}}{3} \)

Теперь подставим h = 14:

\( S = \frac{14^2\sqrt{3}}{3} = \frac{196\sqrt{3}}{3} \) см².

Затем выполним деление:

\( \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{196\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 196 \) см².