17) Задумали трёхзначное число, которое делится на 7 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 792. Какое число было задумано?

Разбор задачи:

1. Понимание условия: Нам нужно найти трёхзначное число. Обозначим его как \( ABC \), где A, B, C — цифры.
2. Свойства числа:
• Число делится на 7.
• Последняя цифра (C) не равна 0.
• Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, это \( CBA \).
• Разность этих чисел равна 792: \( ABC - CBA = 792 \).

Математическая запись:

• Число \( ABC \) можно представить как \( 100A + 10B + C \).
• Число \( CBA \) можно представить как \( 100C + 10B + A \).
• Разность: \( (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 792 \).

Упрощение уравнения:

• \( 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 792 \)
• \( 99A - 99C = 792 \)
• \( 99(A - C) = 792 \)
• \( A - C = \frac{792}{99} \)
• \( A - C = 8 \)

Анализ полученного соотношения:

• Мы знаем, что A и C — это цифры от 0 до 9.
• \( A \) — первая цифра трёхзначного числа, поэтому \( A \) не может быть 0.
• \( C \) — последняя цифра, она не равна 0 по условию.
• Из уравнения \( A - C = 8 \), возможны следующие пары цифр (A, C):
• Если \( C = 1 \), то \( A = 1 + 8 = 9 \).
• Если \( C = 2 \), то \( A = 2 + 8 = 10 \) (невозможно, так как A — цифра).
• Следовательно, единственная возможная пара для \( A \) и \( C \) — это \( A = 9 \) и \( C = 1 \).

Проверка условия делимости на 7:

• Наше число имеет вид \( 9B1 \).
• Число, записанное в обратном порядке, — \( 1B9 \).
• Проверим, делится ли \( 9B1 \) на 7.
• Переберём возможные значения \( B \) (от 0 до 9):
• \( B=0 \): 901. \( 901 : 7 = 128.7... \) (не делится)
• \( B=1 \): 911. \( 911 : 7 = 130.1... \) (не делится)
• \( B=2 \): 921. \( 921 : 7 = 131.5... \) (не делится)
• \( B=3 \): 931. \( 931 : 7 = 133 \) (делится!)
• \( B=4 \): 941. \( 941 : 7 = 134.4... \) (не делится)
• \( B=5 \): 951. \( 951 : 7 = 135.8... \) (не делится)
• \( B=6 \): 961. \( 961 : 7 = 137.2... \) (не делится)
• \( B=7 \): 971. \( 971 : 7 = 138.7... \) (не делится)
• \( B=8 \): 981. \( 981 : 7 = 140.1... \) (не делится)
• \( B=9 \): 991. \( 991 : 7 = 141.5... \) (не делится)
• Таким образом, единственное трёхзначное число, удовлетворяющее всем условиям, — это 931.

Проверка:

• Задуманное число: 931.
• Число в обратном порядке: 139.
• Разность: \( 931 - 139 = 792 \).
• Число 931 делится на 7 (931 / 7 = 133).
• Последняя цифра (1) не равна 0.

Ответ: 931