170. На рисунке 274 две окружности имеют общий центр О. Через точку М большей окружности проведены касательные МВ и МС к меньшей окружности. Найдите отрезок МК, если радиус большей окружности равен 12 см, а ∠BMC = 120°.

Дано:

• Две окружности с общим центром О.
• Точка М на большей окружности.
• МВ и МС - касательные к меньшей окружности.
• Радиус большей окружности R = 12 см.
• ∠BMC = 120°.

Найти: Отрезок МК.

Решение:

1. Свойства касательных: Так как МВ и МС касательные к меньшей окружности, то ОВ ⊥ MB и ОС ⊥ MC. Следовательно, ∠OBM = ∠OCM = 90°.
2. Сумма углов в четырехугольнике: В четырехугольнике ОВМС сумма углов равна 360°. Поэтому ∠BOC = 360° - ∠OBM - ∠OCM - ∠BMC = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.
3. Треугольник ОВC: Треугольник ОВС - равнобедренный (ОВ = ОС - радиусы меньшей окружности). Угол при вершине О равен 60°, значит, углы при основании равны ∠OBC = ∠OCB = (180° - 60°) / 2 = 60°. Таким образом, треугольник ОВС - равносторонний, и ОВ = ОС = BC.
4. Радиус большей окружности: Точка М лежит на большей окружности, поэтому ОМ = R = 12 см.
5. Треугольник ОВМ: В прямоугольном треугольнике ОВМ (т.к. ∠OBM = 90°):
   • ∠BOM = ∠BOC / 2 = 60° / 2 = 30° (так как ОМ - биссектриса ∠BOC).
   • ОВ = ОМ * sin(30°) = 12 * 1/2 = 6 см. (Это радиус меньшей окружности).
   • MB = ОМ * cos(30°) = 12 * √3/2 = 6√3 см.
6. Отрезок МК: Точка К - точка касания на большей окружности, но рисунок показывает, что К находится на меньшей окружности, где МВ и МС касаются. Из рисунка следует, что К - точка касания отрезка МС с меньшей окружностью. В этом случае МК = MB = 6√3 см, так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
7. Если К - точка на большей окружности: На рисунке есть точка К, которая выглядит как точка касания окружности. Если предположить, что К - точка на большей окружности, и отрезок МК является радиусом большей окружности, тогда МК = 12 см. Однако, из контекста задачи, где МВ и МС являются касательными к меньшей окружности, и вопрос об отрезке МК, наиболее вероятно, что К является некоторой точкой, связанной с касательными. Если предположить, что К — это точка на меньшей окружности, как показано на рисунке, то МК является отрезком касательной, и тогда МК = МВ = МС.
8. Учитывая, что отрезки касательных из одной точки к окружности равны, и рисунок указывает, что К - точка касания на меньшей окружности, то МК = МВ.
9. Расчет МК: МК = MB = 6√3 см.

Ответ: 6√3 см