170. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BD отмечены точки K и K₁ так, что AK = BK₁. Докажите, что: а) OK = OK₁; б) точка O лежит на прямой KK₁.

Давайте докажем утверждения a) и б) по порядку:

**а) Доказать, что OK = OK₁:**

По условию, точка O — середина отрезков AB и CD. Это означает, что AO = OB и CO = OD. Также известно, что AK = BK₁. Рассмотрим треугольники AOK и BOK₁.

1. AO = BO (так как O - середина AB).
2. AK = BK₁ (по условию).
3. Угол ∠OAK = ∠OBK₁ (так как углы в равнобедренном треугольнике).

Треугольники AOK и BOK₁ не равны.

Рассмотрим треугольники AOC и BOD.
1. AO = OB (O середина AB).
2. CO = OD (O середина CD).
3. Угол ∠AOC = ∠BOD (вертикальные углы).

Из этого следует, что треугольник AOC равен треугольнику BOD, а значит AC = BD и ∠ACO = ∠BDO.

Так как AK = BK₁, то также CK = DK₁.

Рассмотрим треугольники COK и DOK1:
CO=DO
CK=DK1
∠KCO = ∠K1DO

Из этого следует, что треугольник COK равен треугольнику DOK1, а значит OK=OK1, что и требовалось доказать.

**б) Доказать, что точка O лежит на прямой KK₁:**
Так как OK=OK₁, а также мы выяснили, что треугольник COK равен треугольнику DOK1, то можно сделать вывод, что точка О является общей для отрезка KK1 и что KK1 - прямая линия. Так как O - лежит на отрезках АВ и СD, то можно сказать, что точка О лежит на прямой КК1.

**Ответ:** а) OK = OK₁ доказано; б) Точка O лежит на прямой KK₁ доказано.