170. Упростить выражения: 1) $\dfrac{x^2+14x+49}{x+6}:\left(\dfrac{13}{x+6}-x+6\right)$; 2) $\left(c-\dfrac{2c-9}{c+8}\right)\cdot\dfrac{c^2+3c}{c^2-64}+\dfrac{24}{c}$; 3) $\left(\dfrac{36}{x^2-9}-\dfrac{x-3}{x+3}-\dfrac{3+x}{3-x}\right):\dfrac{6}{3-x}$; 4) $\left(\dfrac{2y-1}{y^2+2y+4}+\dfrac{9y+6}{y^3-8}+\dfrac{1}{y-2}\right)\cdot\dfrac{y^2-4}{18}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 170. Упростить выражения: 1) $\dfrac{x^2+14x+49}{x+6}:\left(\dfrac{13}{x+6}-x+6\right)$; 2)…$ Фото задания

170. Упростить выражения: 1) $\dfrac{x^2+14x+49}{x+6}:\left(\dfrac{13}{x+6}-x+6\right)$; 2) $\left(c-\dfrac{2c-9}{c+8}\right)\cdot\dfrac{c^2+3c}{c^2-64}+\dfrac{24}{c}$; 3) $\left(\dfrac{36}{x^2-9}-\dfrac{x-3}{x+3}-\dfrac{3+x}{3-x}\right):\dfrac{6}{3-x}$; 4) $\left(\dfrac{2y-1}{y^2+2y+4}+\dfrac{9y+6}{y^3-8}+\dfrac{1}{y-2}\right)\cdot\dfrac{y^2-4}{18}$.

Accepted Answer

Разложим квадратный трёхчлен и упростим выражение в скобках:
$x^2+14x+49=(x+7)^2$,
$\dfrac{13}{x+6}-x+6=\dfrac{13+(-x+6)(x+6)}{x+6}=\dfrac{49-x^2}{x+6}=\dfrac{(7-x)(x+7)}{x+6}$.
Деление заменим умножением на обратную дробь и сократим:
$\dfrac{(x+7)^2}{x+6}:\dfrac{(7-x)(x+7)}{x+6}=\dfrac{x+7}{7-x}$.
Учитываем ограничения исходного выражения: $x\ne-6,7,-7$.
Ответ: $\dfrac{x+7}{7-x}$.
Сначала упростим разность в скобках:
$c-\dfrac{2c-9}{c+8}=\dfrac{c(c+8)-(2c-9)}{c+8}=\dfrac{c^2+6c+9}{c+8}=\dfrac{(c+3)^2}{c+8}$.
Разложим на множители остальные выражения:
$c^2+3c=c(c+3)$, $c^2-64=(c-8)(c+8)$.
Тогда
$\dfrac{(c+3)^2}{c+8}\cdot\dfrac{c(c+3)}{(c-8)(c+8)}+\dfrac{24}{c}=\dfrac{c(c+3)^3}{(c-8)(c+8)^2}+\dfrac{24}{c}$.
Приведём к общему знаменателю $c(c-8)(c+8)^2$:
$\dfrac{c^2(c+3)^3+24(c-8)(c+8)^2}{c(c-8)(c+8)^2}$.
Ограничения исходного выражения: $c\ne0,8,-8$.
Ответ: $\dfrac{c^2(c+3)^3+24(c-8)(c+8)^2}{c(c-8)(c+8)^2}$.
Используем $x^2-9=(x-3)(x+3)$ и $\dfrac{3+x}{3-x}=-\dfrac{x+3}{x-3}$. Выражение в скобках равно
$\dfrac{36}{(x-3)(x+3)}-\dfrac{x-3}{x+3}+\dfrac{x+3}{x-3}$.
Приведём к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:
$\dfrac{36-(x-3)^2+(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{36+12x}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{12(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{12}{x-3}$.
Теперь разделим на $\dfrac{6}{3-x}$:
$\dfrac{12}{x-3}:\dfrac{6}{3-x}=\dfrac{12}{x-3}\cdot\dfrac{3-x}{6}=-2$.
Ограничения исходного выражения: $x\ne-3,3$.
Ответ: $-2$.
Разложим куб разности и сумму квадратов:
$y^3-8=(y-2)(y^2+2y+4)$, $y^2-4=(y-2)(y+2)$.
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $(y-2)(y^2+2y+4)$:
$\dfrac{(2y-1)(y-2)+(9y+6)+(y^2+2y+4)}{(y-2)(y^2+2y+4)}$.
Числитель равен $2y^2-5y+2+9y+6+y^2+2y+4=3y^2+6y+12=3(y^2+2y+4)$, поэтому скобки упрощаются до $\dfrac{3}{y-2}$.
Умножаем и сокращаем:
$\dfrac{3}{y-2}\cdot\dfrac{(y-2)(y+2)}{18}=\dfrac{y+2}{6}$.
Ограничение исходного выражения: $y\ne2$.
Ответ: $\dfrac{y+2}{6}$.

Ответ: