172. Окружность с центром О касается сторон ВА и ВС неразвёрнутого угла в точках Т и М соответственно. Найдите периметр треугольника МВТ, если ТМ = 6 см и \angle ABC = 60°.

Решение:

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны.

• Так как отрезки ВМ и ВТ проведены из точки В к окружности, то ВМ = ВТ.
• По условию задачи, ТМ = 6 см.
• В равнобедренном треугольнике МВТ (ВМ = ВТ) углы при основании равны: \angle ВМТ = \angle ВТМ.
• Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому \angle MBT + \angle BMT + \angle BTM = 180°.
• Так как \angle MBT = 60°, то \angle BMT + \angle BTM = 180° - 60° = 120°.
• Так как \angle BMT = \angle BTM, то 2 * \angle BMT = 120°, следовательно, \angle BMT = 60°.
• Таким образом, все углы треугольника МВТ равны 60°, значит, треугольник МВТ является равносторонним.
• Следовательно, ВМ = ВТ = ТМ.
• По условию ТМ = 6 см, значит, ВМ = 6 см и ВТ = 6 см.
• Периметр треугольника МВТ равен сумме длин всех его сторон: Р_МВТ = ВМ + ВТ + ТМ.
• Р_МВТ = 6 см + 6 см + 6 см = 18 см.

Ответ: 18 см.