172. Решить неравенства, используя графики функций: 1) √x ≥ x; 2) √x < x; 3) √x > x − 2; 4) √x ≤ x − 2.

Во всех неравенствах область определения: \(x\ge 0\). Сравниваем графики левой и правой частей.

1. Графики \(y=\sqrt{x}\) и \(y=x\) пересекаются при \(x=0\) и \(x=1\). На отрезке между точками пересечения график \(y=\sqrt{x}\) не ниже графика \(y=x\).

   Ответ: \(x\in[0;1]\).

2. При \(x=0\) неравенство строгое не выполняется. Для \(x>0\) графики пересекаются при \(x=1\), а правый график \(y=x\) выше при \(x>1\).

   Ответ: \(x\in(1;+\infty)\).

3. При \(0\le x\le2\) правая часть \(x-2\le0\), а \(\sqrt{x}\ge0\), поэтому неравенство выполняется. При \(x>2\) точка пересечения графиков определяется уравнением \(\sqrt{x}=x-2\). Возводим в квадрат: \(x=(x-2)^2\), откуда \(x=1\) или \(x=4\); условию \(x>2\) подходит только \(x=4\). На участке до пересечения график \(y=\sqrt{x}\) выше.

   Ответ: \(x\in[0;4)\).

4. Для выполнения неравенства необходимо \(x-2\ge0\), то есть \(x\ge2\). Графики пересекаются при \(\sqrt{x}=x-2\); из уравнения \(x=(x-2)^2\) получаем корни 1 и 4, из которых условию \(x\ge2\) подходит только 4. При \(x\ge4\) график \(y=\sqrt{x}\) не выше графика \(y=x-2\).

   Ответ: \(x\in[4;+\infty)\).