172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 2 см.

Решение:

1. Свойства касательных: В прямоугольном треугольнике отрезки от вершин до точек касания вписанной окружности равны.
2. Обозначения: Пусть гипотенуза делится на отрезки \(m=4\) см и \(n=6\) см. Пусть катеты равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза — \(c\).
3. Связь отрезков с катетами: Отрезки от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности, то есть \(r=2\) см.
4. Формула для отрезков: Если точка касания делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см, то эти отрезки соответствуют (соответственно) отрезкам от вершин острых углов.
5. Связь с катетами: Катеты прямоугольного треугольника равны сумме отрезка от вершины прямого угла (равного радиусу) и отрезка от соответствующей вершины острого угла.
6. Расчет катетов: \(a = r + m = 2 + 4 = 6\) см. \(b = r + n = 2 + 6 = 8\) см.
7. Расчет гипотенузы: \(c = m + n = 4 + 6 = 10\) см. (Проверка по теореме Пифагора: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\)).
8. Расчет периметра: \(P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24\) см.

Ответ: 24 см.