1. Трусливый заяц и пронёс - волк.
Трусливый — прилагательное, обозначает признак предмета (какой?). Безударная гласная в корне, проверяемая ударением: трусость.
Заяц — существительное, обозначает предмет (кто?). Безударная гласная в корне, словарное слово.
Пронёс — глагол, обозначает действие (что сделал?). В приставке про-, потому что обозначает движение вперёд.
Это предложение повествовательное, невосклицательное.
2. (Не)сиди сложа руки, чтобы (не)было скучно.
Не сиди — глагол. Частица «не» с глаголами пишется раздельно. (Глагол в повелительном наклонении).
Не было — частица «не» с краткими прилагательными (если есть противопоставление или отрицание). Частица «не» пишется раздельно с краткими прилагательными, имеющими значение отсутствия.
Это предложение повествовательное, невосклицательное.
3. Новых друзей наживай, а старости (не)теряй.
Новых — прилагательное, в родительном падеже, окончание -ых.
Наживай — глагол. Безударная гласная в корне, проверяемая ударением: нажив (но это словарное слово, пишется -и-).
Старости — существительное, в дательном падеже, окончание -и.
Не теряй — глагол. Частица «не» с глаголами пишется раздельно.
Это предложение повествовательное, невосклицательное.
4. (Не)спеши языком, торопись делом.
Не спеши — глагол. Частица «не» с глаголами пишется раздельно.
Торопись — глагол. Безударная гласная в корне, проверяемая ударением: тОроп.
Это предложение повествовательное, побудительное, невосклицательное.
Ответ: 1. Трусливый заяц и пронёс - волк. (Повествовательное). 2. Не сиди сложа руки, чтобы не было скучно. (Повествовательное). 3. Новых друзей наживай, а старости не теряй. (Побудительное). 4. Не спеши языком, торопись делом. (Побудительное).