174 Пусть N — натуральное число. Даны утверждения: А: «N делится на 3», В: «N делится на 9», С: «Сумма цифр числа N делится на 3», D: «Сумма цифр числа N делится на 9», Е: «Число N является натуральной степенью числа 2». Составьте из этих утверждений два взаимно обратных условных утверждения: а) так, чтобы оба были истинными высказываниями; б) так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным; в) так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями.

Краткое пояснение:

а) Так, чтобы оба были истинными высказываниями:

Утверждение «N делится на 9» (В) является более сильным, чем «N делится на 3» (А). Если число делится на 9, оно автоматически делится и на 3. Но обратное не всегда верно. Поэтому, чтобы оба утверждения были истинными, мы можем выбрать утверждения, связанные с суммой цифр.

Утверждение С: «Сумма цифр числа N делится на 3» является истинным тогда и только тогда, когда само число N делится на 3 (признак делимости на 3).

Утверждение D: «Сумма цифр числа N делится на 9» является истинным тогда и только тогда, когда само число N делится на 9 (признак делимости на 9).

Таким образом, если мы возьмем утверждение «N делится на 9» (В) и утверждение «Сумма цифр числа N делится на 9» (D), то они будут эквивалентны. Это означает, что если одно истинно, то и другое истинно, и наоборот.

Взаимно обратные утверждения:

1. Если N делится на 9 (В), то сумма цифр числа N делится на 9 (D).

2. Если сумма цифр числа N делится на 9 (D), то N делится на 9 (В).

Оба этих утверждения истинны, так как они выражают один и тот же признак делимости.

б) Так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным:

Это случай, когда одно утверждение является необходимым, но не достаточным условием для другого, или наоборот.

Рассмотрим утверждения А: «N делится на 3» и В: «N делится на 9».

Утверждение 1: Если N делится на 3 (А), то N делится на 9 (В).

Это утверждение ложно. Например, если N = 6, то N делится на 3, но не делится на 9.

Утверждение 2: Если N делится на 9 (В), то N делится на 3 (А).

Это утверждение истинно. Любое число, делящееся на 9, также делится и на 3.

Здесь одно утверждение (2) истинно, а другое (1) ложно. Мы можем составить взаимно обратные пары, где одно условие выполняется, а другое — нет.

Взаимно обратные утверждения:

1. Если N делится на 3 (А), то N делится на 9 (В).

2. Если N делится на 9 (В), то N делится на 3 (А).

В этом случае, при N=6, первое утверждение ложно, а второе истинно.

в) Так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями:

Нам нужно выбрать два таких утверждения, которые могут быть ложными одновременно для какого-либо числа N.

Рассмотрим утверждение Е: «Число N является натуральной степенью числа 2».

И утверждение А: «N делится на 3».

Если мы возьмем число N, которое не является степенью двойки и не делится на 3, то оба утверждения будут ложными.

Например, пусть N = 5.

Утверждение Е: «5 является натуральной степенью числа 2» — ложно.

Утверждение А: «5 делится на 3» — ложно.

Взаимно обратные утверждения:

1. Если N является натуральной степенью числа 2 (Е), то N делится на 3 (А).

2. Если N делится на 3 (А), то N является натуральной степенью числа 2 (Е).

Для N = 5, первое утверждение ложно (ложное влечет ложное = истина, но мы ищем случай, когда оба условия ложны), и второе утверждение ложно (ложное влечет ложное = истина). Здесь мы ищем пример, где оба условия в связке «если... то...» могут быть ложными.

Правильнее будет подобрать N так, чтобы сами утверждения были ложными.

Пусть N = 5. Тогда:

Утверждение «N является натуральной степенью числа 2» (Е) — ложно.

Утверждение «N делится на 3» (А) — ложно.

Теперь составим пары:

Пара 1:

Условное утверждение 1: Если N является натуральной степенью числа 2 (Е), то N делится на 3 (А).

Условное утверждение 2: Если N делится на 3 (А), то N является натуральной степенью числа 2 (Е).

Для N=5:

Утверждение 1: Если (Ложь), то (Ложь). → Истина.

Утверждение 2: Если (Ложь), то (Ложь). → Истина.

Здесь оба условных утверждения истинны, но исходные утверждения Е и А ложны.

Если нужно, чтобы именно два утверждения из списка были ложными, то мы можем выбрать:

N = 7.

Утверждение А: «7 делится на 3» — ложно.

Утверждение Е: «7 является натуральной степенью числа 2» — ложно.

Пара для пункта в)

Утверждение 1: «N делится на 3» (А).

Утверждение 2: «N является натуральной степенью числа 2» (Е).

Для N=7, оба утверждения ложны. Мы должны составить из них два взаимно обратных условных утверждения. В задаче же спрашивается, чтобы *два утверждения* оказались ложными высказываниями, а не чтобы *два условных утверждения* оказались ложными.

Итак, выбираем N=7. Утверждение А ложно, Утверждение Е ложно.

Ответ для в):

Мы должны составить два взаимно обратных условных утверждения, чтобы исходные утверждения, входящие в эти пары, были ложными.

Возьмем N=7.

Утверждения А («N делится на 3») и Е («N является натуральной степенью числа 2») оба ложны для N=7.

Составляем взаимно обратные условные утверждения:

1. Если N делится на 3 (А), то N является натуральной степенью числа 2 (Е).

2. Если N является натуральной степенью числа 2 (Е), то N делится на 3 (А).

Для N=7, А — ложно, Е — ложно. Оба эти условных утверждения будут истинны (по правилу «ложь влечет ложь»).

Если же требуется, чтобы сами условные высказывания были ложными, то это невозможно, если исходные утверждения А и Е оба ложны.

Поэтому, под «чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями» подразумевается, что для некоторого N, утверждение А ложно, и утверждение Е ложно.