175. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, если AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, AD = A₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁.

1. По условию \(AB=A_1B_1\), \(AD=A_1D_1\).
2. Так как \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы углов \(A\) и \(A_1\), то \(\angle BAD=\frac12\angle A\) и \(\angle B_1A_1D_1=\frac12\angle A_1\). Из условия \(\angle A=\angle A_1\), следовательно, \(\angle BAD=\angle B_1A_1D_1\).
3. Следовательно, треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Отсюда \(\angle ABD=\angle A_1B_1D_1\). Поскольку точки \(B,D,C\) и \(B_1,D_1,C_1\) лежат на соответствующих сторонах, получаем \(\angle ABC=\angle A_1B_1C_1\).
5. Вместе с равенством \(AB=A_1B_1\) и \(\angle A=\angle A_1\) это даёт равенство треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\).