175. Докажите тождество: \(2\left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}\right):\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b}\right)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\).

ОДЗ: знаменатели и делитель не должны быть равны нулю. Поэтому \(a\ne 0\), \(b\ne 0\), \(a-b\ne 0\), \(a+b\ne 0\).

1. Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю:

   \[\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2-b^2}=\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}.\]

2. Упростим вторую скобку:

   \[\frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{a^2-b^2}=\frac{4ab}{a^2-b^2}.\]

3. Подставим результаты и заменим деление умножением на обратную дробь:

   \[2\cdot\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}:\frac{4ab}{a^2-b^2}=\frac{4(a^2+b^2)}{a^2-b^2}\cdot\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}.\]

4. Разделим числитель на слагаемые:

   \[\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}.\]

Левая часть равна правой при всех значениях переменных из ОДЗ, следовательно, тождество доказано.