Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC:
\( \angle C = 90° \)
\( \angle A = 30° \)
\( \angle B = 180° - 90° - 30° = 60° \).
BM — биссектриса угла B, значит, \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{\angle B}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \).
Рассмотрим треугольник ABM:
\( \angle BAM = 30° \)
\( \angle ABM = 30° \)
Значит, треугольник ABM равнобедренный с основанием AM. Следовательно, \( AB = AM \).
В прямоугольном треугольнике ABC:
\( AM = AB \cdot \cos(\angle A) \)
\( CM = AC - AM \)
\( AC = AB \cdot \cos(30°) = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( CM = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - AB \)
\( CM = AB \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) \)
По условию \( AM - CM = 4 \) см.
\( AB - AB \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) = 4 \)
\( AB \left( 1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) \right) = 4 \)
\( AB \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = 4 \)
\( AB \left( 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 4 \)
\( AB \left( \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \right) = 4 \)
\( AB = \frac{8}{4 - \sqrt{3}} \)
\( AB = \frac{8(4 + \sqrt{3})}{(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})} = \frac{8(4 + \sqrt{3})}{16 - 3} = \frac{8(4 + \sqrt{3})}{13} \)
Теперь найдём BM. В прямоугольном треугольнике CBM:
\( \angle C = 90° \)
\( \angle CBM = 30° \)
\( CM = BC \cdot \tan(30°) \)
\( BC = AB \cdot \sin(30°) = AB \cdot \frac{1}{2} \)
\( CM = AB \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{2\sqrt{3}} \)
\( BM = \frac{CM}{\cos(30°)} = \frac{CM}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 CM}{\sqrt{3}} \)
\( BM = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{AB}{2\sqrt{3}} = \frac{AB}{3} \)
\( BM = \frac{1}{3} \cdot \frac{8(4 + \sqrt{3})}{13} = \frac{8(4 + \sqrt{3})}{39} \)
Проверим условие \( AM - CM = 4 \):
\( AM = AB \)
\( CM = AB \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) \)
\( AM - CM = AB - AB \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) = AB \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = AB \left( 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = AB \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \)
\( AB = 4 \cdot \frac{2}{4 - \sqrt{3}} = \frac{8}{4 - \sqrt{3}} \)
\( AB = \frac{8(4 + \sqrt{3})}{16 - 3} = \frac{8(4 + \sqrt{3})}{13} \)
\( BM = \frac{AB}{3} = \frac{8(4 + \sqrt{3})}{39} \)
Ответ: \( \frac{8(4 + \sqrt{3})}{39} \) см.
