Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 178. Решить уравнения: 1) \(2\cdot16^x-3\cdot4^x=2\); 2) \(2\cdot4^x+2\cdot2^x-4=0\); 3) \(3\cdot81^x-8\cdot9^x=3\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Положим \(t=4^x\), тогда \(16^x=t^2\), причём \(t>0\).

    \(2t^2-3t-2=0\), откуда \((2t+1)(t-2)=0\). Получаем \(t=-\frac12\) или \(t=2\). Условию \(t>0\) подходит только \(t=2\), поэтому \(4^x=2=4^{1/2}\), и \(x=\frac12\).

  2. Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(4^x=t^2\), и уравнение принимает вид \(2t^2+2t-4=0\), то есть \((t+2)(t-1)=0\).

    Из корней \(t=-2\) и \(t=1\) подходит только \(t=1\). Значит, \(2^x=1\), поэтому \(x=0\).

  3. Положим \(t=9^x\), тогда \(81^x=t^2\), причём \(t>0\).

    \(3t^2-8t-3=0\), откуда \((3t+1)(t-3)=0\). Получаем \(t=-\frac13\) или \(t=3\). Подходит \(t=3\), поэтому \(9^x=3=9^{1/2}\), и \(x=\frac12\).

  4. Положим \(t=4^x\), тогда \(16^x=t^2\), причём \(t>0\).

    \(4t^2-17t+4=0\). Дискриминант: \(D=17^2-4\cdot4\cdot4=225\). Тогда \(t=\frac{17\pm15}{8}\), то есть \(t=4\) или \(t=\frac14\).

    Следовательно, \(4^x=4\) или \(4^x=\frac14\), откуда \(x=1\) или \(x=-1\).

Ответ: 1) \(x=\frac12\); 2) \(x=0\); 3) \(x=\frac12\); 4) \(x=-1,1\).