178. Вычислите: 1) $\sin(\alpha+\beta)$ и $\sin(\alpha-\beta)$, если $\cos\alpha=\frac45$, $\sin\beta=-\frac35$, $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$, $\pi<\beta<\frac{3\pi}{2}$; 2) $\cos(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha-\beta)$, если $\sin\alpha=\frac{8}{17}$, $\cos\beta=\frac35$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$, $\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi$; 3) $\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)$ и $\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)$, если $ g\alpha=-\frac34$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 178. Вычислите: 1) $\sin(\alpha+\beta)$ и $\sin(\alpha-\beta)$, если $\cos\alpha=\frac45$, $\sin\beta=-\frac35$,…$ Фото задания

178. Вычислите: 1) $\sin(\alpha+\beta)$ и $\sin(\alpha-\beta)$, если $\cos\alpha=\frac45$, $\sin\beta=-\frac35$, $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$, $\pi<\beta<\frac{3\pi}{2}$; 2) $\cos(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha-\beta)$, если $\sin\alpha=\frac{8}{17}$, $\cos\beta=\frac35$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$, $\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi$; 3) $\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)$ и $\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)$, если $ g\alpha=-\frac34$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$.

Accepted Answer

Так как $\alpha$ находится в IV четверти, $\sin\alpha=-\frac35$. Так как $\beta$ находится в III четверти, $\cos\beta=-\frac45$.
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=(-\frac35)(-\frac45)+\frac45(-\frac35)=0$.
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=(-\frac35)(-\frac45)-\frac45(-\frac35)=\frac{24}{25}$.
Так как $\alpha$ находится во II четверти, $\cos\alpha=-\frac{15}{17}$. Так как $\beta$ находится в IV четверти, $\sin\beta=-\frac45$.
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=(-\frac{15}{17})\frac35-\frac{8}{17}(-\frac45)=-\frac{13}{85}$.
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=(-\frac{15}{17})\frac35+\frac{8}{17}(-\frac45)=-\frac{77}{85}$.
Во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен. Из $ g\alpha=-\frac34$ получаем $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=-\frac45$.
$\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)=\frac{\sqrt2}{2}(-\frac45+\frac35)=-\frac{\sqrt2}{10}$.
$\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)=\frac{\sqrt2}{2}(-\frac45-\frac35)=-\frac{7\sqrt2}{10}$.

Ответ: 1) $0;\ \frac{24}{25}$. 2) $-\frac{13}{85};\ -\frac{77}{85}$. 3) $-\frac{\sqrt2}{10};\ -\frac{7\sqrt2}{10}$.