18.(1 балл) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 60. Найдите объём шара.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус шара, а \( r \) и \( h \) — радиус основания и высота конуса соответственно. По условию \( r = R \).

Объём конуса вычисляется по формуле: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \). Нам дано, что \( V_{конуса} = 60 \).

Учитывая, что \( r = R \), имеем: \( 60 = \frac{1}{3} \pi R^2 h \).

Теперь рассмотрим соотношение между \( R \) и \( h \). Если конус вписан в шар, и радиус основания конуса равен радиусу шара, то это возможно только в случае, когда вершина конуса находится на поверхности шара, а основание конуса является окружностью, проходящей через центр шара. В этом случае высота конуса \( h \) будет равна радиусу шара \( R \).

Подставим \( h = R \) в уравнение объёма конуса:

\( 60 = \frac{1}{3} \pi R^2 · R \)

\( 60 = \frac{1}{3} \pi R^3 \)

Теперь выразим \( \pi R^3 \):

\( \pi R^3 = 60 · 3 = 180 \).

Объём шара вычисляется по формуле: \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

Мы уже знаем, что \( \pi R^3 = 180 \). Подставим это значение в формулу объёма шара:

\( V_{шара} = \frac{4}{3} · 180 \)

\( V_{шара} = 4 · 60 \)

\( V_{шара} = 240 \).

Ответ: Объём шара равен 240.