18.(1 балл) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 60. Найдите объём шара.

Решение:

Обозначим радиус основания конуса как \( r \), высоту конуса как \( h \), радиус шара как \( R \).

По условию, радиус основания конуса равен радиусу шара: \( r = R \).

Объём конуса вычисляется по формуле: \( V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

Объём шара вычисляется по формуле: \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

Из рисунка видно, что центр шара находится на высоте \( h = R \) от основания конуса. Это означает, что высота конуса \( h = R \).

Подставим \( r = R \) и \( h = R \) в формулу объёма конуса:

\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3 \]

Нам дано, что объём конуса равен 60. Значит:

\[ \frac{1}{3} \pi R^3 = 60 \]

Теперь найдём объём шара, используя формулу \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \). Мы можем выразить \( \frac{1}{3} \pi R^3 \) из предыдущего уравнения:

\[ \frac{1}{3} \pi R^3 = 60 \]

Подставим это значение в формулу объёма шара:

\[ V_{\text{шара}} = 4 \cdot \left( \frac{1}{3} \pi R^3 \right) = 4 \cdot 60 = 240 \]

Ответ: 240.