18.12. Решите уравнения: а) $\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$; б) $\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$; в) $\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$; г) $3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 18.12. Решите уравнения: а) $\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$; б) $\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$; в) \(\sin^2…$ Фото задания

18.12. Решите уравнения: а) $\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$; б) $\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$; в) $\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$; г) $3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$.

Accepted Answer

Во всех уравнениях при $\cos x=0$ левая часть не равна нулю: она соответственно равна $\sin^2 x$, поэтому деление на $\cos^2 x$ не теряет решений. Делим на $\cos^2 x$ и обозначаем $t=\tan x$.

а) $t^2+2t-3=0$. Разложение: $(t-1)(t+3)=0$, значит, $t=1$ или $t=-3$. Ответ: $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$ или $x=-\arctan 3+\pi n$, где $n\in\mathbb Z$.

б) $t^2-4t+3=0$. Разложение: $(t-1)(t-3)=0$, значит, $t=1$ или $t=3$. Ответ: $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$ или $x=\arctan 3+\pi n$, где $n\in\mathbb Z$.

в) $t^2+t-2=0$. Разложение: $(t+2)(t-1)=0$, значит, $t=-2$ или $t=1$. Ответ: $x=-\arctan 2+\pi n$ или $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$, где $n\in\mathbb Z$.

г) $3t^2+t-2=0$. Разложение: $(3t-2)(t+1)=0$, значит, $t=\frac23$ или $t=-1$. Ответ: $x=\arctan\frac23+\pi n$ или $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$, где $n\in\mathbb Z$.

18.12. Решите уравнения: а) \(\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0\); б) \(\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0\); в) \(\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0\); г) \(3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0\).

Ответ: