Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 18.2. Решите уравнения: а) \(\sin\left(-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\); б) \(\cos(-2x)=-\frac{\sqrt3}{2}\); в) \(…Фото задания

Ответ:

Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\).

  1. а) \(-\frac{x}{3}=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(-\frac{x}{3}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\). Умножаем на \(-3\): \(x=-\frac{3\pi}{4}-6\pi k\) или \(x=-\frac{9\pi}{4}-6\pi k\). Переобозначив целое \(-k\) через \(k\), получаем \(x=-\frac{3\pi}{4}+6\pi k\) или \(x=-\frac{9\pi}{4}+6\pi k\).
  2. б) Косинус — чётная функция, поэтому \(\cos(-2x)=\cos 2x\). Тогда \(2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) или \(2x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\). Делим на 2: \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{12}+\pi k\).
  3. в) Тангенс равен \(\frac{1}{\sqrt3}\) при аргументе \(\frac{\pi}{6}+\pi k\). Поэтому \(-4x=\frac{\pi}{6}+\pi k\), откуда \(x=-\frac{\pi}{24}-\frac{\pi k}{4}\). Переобозначив \(-k\) через \(k\), имеем \(x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{4}\).
  4. г) Котангенс равен 1 при аргументе \(\frac{\pi}{4}+\pi k\). Значит, \(-\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi k\), откуда \(x=-\frac{\pi}{2}-2\pi k=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\), после переобозначения целого параметра.

Ответ: а) \(x=-\frac{3\pi}{4}+6\pi k\) или \(x=-\frac{9\pi}{4}+6\pi k\); б) \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{12}+\pi k\); в) \(x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{4}\); г) \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).