18. (3балл) Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \log_5 x - \log_5 y = \log_5 (y + 3) \\ x - 3y = 4 \end{cases}\)

Решение:

Преобразуем первое уравнение системы:

• \( \log_5 x - \log_5 y = \log_5 (y + 3) \)
• \( \log_5 \frac{x}{y} = \log_5 (y + 3) \)
• \( \frac{x}{y} = y + 3 \)
• \( x = y(y + 3) \)
• \( x = y^2 + 3y \)

Теперь подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение:

• \( (y^2 + 3y) - 3y = 4 \)
• \( y^2 = 4 \)
• \( y = +b1 \) 2 \)

Найдем соответствующие значения \( x \) для каждого значения \( y \).

• Если \( y = 2 \):
• \( x = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10 \)
• Проверим условие \( x > 0 \) и \( y > 0 \). \( 10 > 0 \) и \( 2 > 0 \). Это решение подходит.
• Если \( y = -2 \):
• \( x = (-2)^2 + 3 \cdot (-2) = 4 - 6 = -2 \)
• Проверим условие \( x > 0 \). \( -2 \) не больше \( 0 \). Это решение не подходит.

Найдем значения \( y+3 \) для проверки первого уравнения:

• Для \( y = 2 \), \( y+3 = 2+3=5 \). \( \log_5 10 - \log_5 2 = \log_5 \frac{10}{2} = \log_5 5 = 1 \). \( \log_5 (2+3) = \log_5 5 = 1 \). Первое уравнение выполняется.
• Для \( y = -2 \), \( y+3 = -2+3=1 \). \( \log_5 (-2) \) не определено, так как \( x \) должно быть больше \( 0 \).

Таким образом, система имеет одно решение.

Ответ: \( x = 10, y = 2 \).