18.4 Диагональ АС ромба ABCD равна 10, a tg BCA = 0,8. Найдите площадь ромба

Решение:

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
2. Диагональ AC = 10, значит, AO = OC = \( 10 / 2 = 5 \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCA. Угол BCA = \( \beta \). Нам дано, что \( \text{tg } \beta = 0.8 \).
4. В треугольнике BCA, \( \text{tg } \angle BCA = \frac{AB}{BC} \). Так как это ромб, все стороны равны, то AB = BC. Это неверно.
5. Правильно: \( \text{tg } \angle BCA = \frac{AB}{BC} \) — неверно для ромба.
6. В прямоугольном треугольнике BCO, \( \text{tg } \angle BCA = \frac{OB}{OC} \).
7. Нам дано \( \text{tg } \angle BCA = 0.8 \) и \( OC = 5 \).
8. Тогда \( OB = OC \cdot \text{tg } \angle BCA = 5 \cdot 0.8 = 4 \).
9. Диагональ BD = 2 * OB = \( 2 \cdot 4 = 8 \).
10. Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).
11. \( S = \frac{1}{2} AC BD \).
12. \( S = \frac{1}{2} 10 8 \).
13. \( S = \frac{1}{2} 80 = 40 \).

Ответ: 40.