18.8. Решите уравнения: а) 2 sin² x + 3 cos x = 0; б) 8 sin² 2x + cos 2x + 1 = 0; в) 5 cos² x + 6 sin x − 6 = 0; г) 4 sin 3x + cos² 3x = 4.

а) Используем равенство \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\):

\(2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0\), откуда \(2\cos^2 x-3\cos x-2=0\).

Положив \(t=\cos x\), получаем \((2t+1)(t-2)=0\). Значение \(t=2\) невозможно, поэтому \(\cos x=-\frac12\).

Ответ: \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

б) Пусть \(t=\cos 2x\). Тогда \(\sin^2 2x=1-t^2\), и уравнение принимает вид \(8(1-t^2)+t+1=0\), то есть \(8t^2-t-9=0\).

Корни: \(t=\frac98\) и \(t=-1\). Первый не может быть косинусом, поэтому \(\cos 2x=-1\), откуда \(2x=\pi+2\pi k\).

Ответ: \(x=\frac\pi2+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

в) Используем \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\): \(5(1-\sin^2 x)+6\sin x-6=0\), или \(5\sin^2 x-6\sin x+1=0\).

Разложение на множители: \((5\sin x-1)(\sin x-1)=0\). Значит, \(\sin x=\frac15\) или \(\sin x=1\).

Ответ: \(x=\arcsin\frac15+2\pi k\), \(x=\pi-\arcsin\frac15+2\pi k\) или \(x=\frac\pi2+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

г) Положим \(t=\sin 3x\) и заменим \(\cos^2 3x\) на \(1-t^2\). Получаем \(4t+1-t^2=4\), то есть \(t^2-4t+3=0\).

Корни: \(t=1\) и \(t=3\); значение \(t=3\) невозможно. Поэтому \(\sin 3x=1\), откуда \(3x=\frac\pi2+2\pi k\).

Ответ: \(x=\frac\pi6+\frac{2\pi k}{3}\), \(k\in\mathbb Z\).