18.9. Решите уравнения: а) 3 tg² x + 2 tg x − 1 = 0; б) ctg² 2x − 6 ctg 2x + 5 = 0; в) 2 tg² x + 3 tg x − 2 = 0; г) 7 ctg² (x/2) + 2 ctg (x/2) = 5.

а) Обозначим \(t= g x\). Тогда \(3t^2+2t-1=0\), то есть \((3t-1)(t+1)=0\). Следовательно, \( g x=\frac13\) или \( g x=-1\).

Ответ: \(x=\arctg\frac13+\pi k\) или \(x=-\frac\pi4+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

б) Пусть \(t=\ctg 2x\). Получаем \(t^2-6t+5=0\), откуда \((t-1)(t-5)=0\).

При \(\ctg 2x=1\): \(2x=\frac\pi4+\pi k\), поэтому \(x=\frac\pi8+\frac{\pi k}{2}\). При \(\ctg 2x=5\): \( g 2x=\frac15\), поэтому \(x=\frac12\arctg\frac15+\frac{\pi k}{2}\).

Ответ: \(x=\frac\pi8+\frac{\pi k}{2}\) или \(x=\frac12\arctg\frac15+\frac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\).

в) Положим \(t= g x\). Тогда \(2t^2+3t-2=0\), то есть \((2t-1)(t+2)=0\). Следовательно, \( g x=\frac12\) или \( g x=-2\).

Ответ: \(x=\arctg\frac12+\pi k\) или \(x=-\arctg 2+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

г) Пусть \(t=\ctg\frac x2\). Тогда \(7t^2+2t-5=0\), откуда \((7t-5)(t+1)=0\).

Если \(\ctg\frac x2=\frac57\), то \( g\frac x2=\frac75\) и \(x=2\arctg\frac75+2\pi k\). Если \(\ctg\frac x2=-1\), то \(\frac x2=-\frac\pi4+\pi k\), поэтому \(x=-\frac\pi2+2\pi k\).

Ответ: \(x=2\arctg\frac75+2\pi k\) или \(x=-\frac\pi2+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).