18. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 6.

Решение:

1. Обозначим точку пересечения биссектрис углов A и D как M. Так как AM — биссектриса угла A, то ∠ BAM = ∠ MAD. Поскольку AD || BC, то ∠ MAD = ∠ AMB как накрест лежащие углы.
2. Следовательно, ∠ BAM = ∠ AMB, что означает, что треугольник ABM равнобедренный с основанием AM. Таким образом, AB = BM.
3. Аналогично, так как DM — биссектриса угла D, то ∠ ADM = ∠ MDC. Поскольку AD || BC, то ∠ ADM = ∠ DMC как накрест лежащие углы.
4. Следовательно, ∠ MDC = ∠ DMC, что означает, что треугольник DMC равнобедренный с основанием DC. Таким образом, DC = CM.
5. Поскольку ABCD — параллелограмм, то AB = DC и AD = BC.
6. Из равенства AB = BM и DC = CM следует, что BM = CM = AD.
7. Тогда BC = BM + CM = AD.
8. Так как AB = 6, то DC = 6.
9. Периметр параллелограмма равен 2 * (AB + AD).
10. Из условия BM = AB = 6 и CM = DC = 6, а также то, что M лежит на BC, следует, что BC = BM + CM = 6 + 6 = 12.
11. Так как AD = BC, то AD = 12.
12. Периметр ABCD = 2 * (AB + AD) = 2 * (6 + 12) = 2 * 18 = 36.

Ответ: 36