18. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

Доказательство:

Пусть BM — биссектриса угла B, а CM — биссектриса угла C параллелограмма ABCD. Точка M лежит на стороне AD.

1. Рассмотрим углы ∠ABM и ∠MBC. Так как BM — биссектриса ∠B, то ∠ABM = ∠MBC.
2. Параллелограмм ABCD имеет параллельные стороны AB || AD и BC || AD. Следовательно, AB || BC.
3. Рассмотрим секущую BM, пересекающую параллельные прямые AB и BC. Углы ∠ABM и ∠BMC являются накрест лежащими.
4. Следовательно, ∠ABM = ∠BMC.
5. Из равенства биссектрисы и накрест лежащих углов следует: ∠ABM = ∠MBC = ∠BMC.
6. Таким образом, ∠ABM = ∠BMC. Это означает, что треугольник ABM равнобедренный с основанием AM. Значит, AB = AM.
7. Аналогично, рассмотрим биссектрису CM угла C. Углы ∠BCM и ∠MCD. Так как CM — биссектриса ∠C, то ∠BCM = ∠MCD.
8. Рассмотрим секущую CM, пересекающую параллельные прямые BC и AD. Углы ∠BCM и ∠CMD являются накрест лежащими.
9. Следовательно, ∠BCM = ∠CMD.
10. Из равенства биссектрисы и накрест лежащих углов следует: ∠BCM = ∠CMD.
11. Таким образом, ∠BMC = ∠CMD. Это означает, что треугольник CMD равнобедренный с основанием CD. Значит, CM = MD.
12. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC.
13. Из равенств AB = AM и CD = MD, и учитывая, что AB = CD, получаем AM = MD.
14. Так как AM = MD, точка M является серединой стороны AD.

Доказано.