18. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне AD. Докажите, что М — середина AD.

Решение:

1. Пусть BM — биссектриса угла B, а CM — биссектриса угла C параллелограмма ABCD.

2. Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M на стороне AD.

3. В параллелограмме противоположные стороны параллельны: AD || BC и AB || DC.

4. Так как AD || BC, то угол AMB и угол CBM являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей BM. Следовательно, \( \angle AMB = \angle CBM \).

5. Так как BM — биссектриса угла B, то \( \angle ABM = \angle CBM \).

6. Из равенства \( \angle AMB = \angle CBM \) и \( \angle ABM = \angle CBM \) следует, что \( \angle AMB = \angle ABM \).

7. Треугольник ABM является равнобедренным, так как у него углы при основании AM равны. Следовательно, AB = AM.

8. Аналогично, так как AB || DC, то угол DMC и угол BCM являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и DC и секущей CM. Следовательно, \( \angle DMC = \angle BCM \).

9. Так как CM — биссектриса угла C, то \( \angle DCM = \angle BCM \).

10. Из равенства \( \angle DMC = \angle BCM \) и \( \angle DCM = \angle BCM \) следует, что \( \angle DMC = \angle DCM \).

11. Треугольник DCM является равнобедренным, так как у него углы при основании DM равны. Следовательно, DC = DM.

12. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = DC.

13. Из равенств AB = AM и DC = DM, а также AB = DC, следует, что AM = DM.

14. Так как точка M лежит на стороне AD, и AM = DM, то M является серединой стороны AD.

Доказано.