18. Через середины диагоналей четырёхугольника провели прямую. Оказалось, что она разделила две стороны этого четырёхугольника пополам. Какую форму должен иметь такой четырёхугольник?

Пусть ABCD — данный четырёхугольник, а E и F — середины его диагоналей AC и BD. Проведённая через E и F прямая пересекает две стороны четырёхугольника и делит их пополам.

Рассмотрим возможные пары сторон. Если прямая проходит через середины противоположных сторон, то по теореме Вариньона она параллельна другой паре противоположных сторон. Так как она одновременно проходит через середины диагоналей, из соответствующих векторных равенств следует, что одна пара противоположных сторон равна и параллельна другой. Следовательно, четырёхугольник является параллелограммом.

Если прямая делит пополам две соседние стороны, то она проходит через середины этих сторон и через середины диагоналей. В таком случае из теоремы о средней линии в соответствующих треугольниках следует, что две стороны, сходящиеся в противоположной вершине, параллельны, а значит, четырёхугольник вырождается либо также имеет форму параллелограмма при совпадении направлений. Невырожденный результат даёт параллелограмм.

Ответ: такой четырёхугольник должен быть параллелограммом.