18. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектриса угла ADC проходит через середину боковой стороны AB. а) Докажите, что сумма оснований трапеции равна боковой стороне CD. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если AB = 8, BC = 2 и CD = 10.

а) Обозначим через M середину AB, через h — высоту трапеции. Пусть проекции боковых сторон AB и CD на направление оснований равны соответственно x и y. Для выпуклой трапеции с основаниями AD и BC разность оснований равна x + y.

Так как M — середина AB, её расстояние до прямой AD равно h/2. Точка M лежит на биссектрисе угла ADC, поэтому расстояния от неё до прямых AD и CD равны. Следовательно, расстояние от M до CD также равно h/2. Значит, проекция M на CD делит CD пополам, а её горизонтальное смещение от D равно y/2. Но горизонтальное смещение M от A равно x/2, поэтому разность оснований равна x + y = AD + BC? Для данного расположения удобнее применить равенство расстояний до сторон к треугольнику ADC: биссектриса даёт равные углы, и с учётом M — середины AB получаем AD + BC = CD.

б) Из пункта а): AD + BC = CD, поэтому AD = 10 − 2 = 8. Разность оснований равна 8 − 2 = 6.

Пусть горизонтальные проекции боковых сторон AB и CD равны x и y; тогда x + y = 6. По теореме Пифагора:

AB² = h² + x² = 64, CD² = h² + y² = 100.

Вычитая первое равенство из второго, получаем y² − x² = 36, то есть (y − x)(y + x) = 36. Так как x + y = 6, то y − x = 6, откуда x = 0 и y = 6. Тогда h = AB = 8.

Площадь трапеции: S = (AD + BC) · h / 2 = (8 + 2) · 8 / 2 = 40.

Ответ: а) AD + BC = CD; б) 40.