18. Докажите, что если у четырёхугольника все стороны равны, то он является ромбом.

Пусть в четырёхугольнике ABCD все стороны равны: AB = BC = CD = DA. Проведём диагональ AC.

1. Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам: AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона.
2. Из равенства треугольников следует, что ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC. Это накрест лежащие углы, поэтому AB ∥ CD и BC ∥ AD.
3. Значит, ABCD — параллелограмм. Поскольку все его стороны равны, по определению это ромб.

Что и требовалось доказать.