18. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные М А и МВ. Найди расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МА = 18.

1. В треугольнике МОА, угол ОАМ равен 90 градусов. По теореме Пифагора, $$МО^2 = МА^2 + ОА^2$$. Также, угол АОМ равен половине угла АОВ, то есть 60 градусов.

2. В прямоугольном треугольнике МОА, $$ОА = МА an(30^ ext{o}) = 18 imes rac{1}{ ext{sqrt}(3)} = 6 ext{sqrt}(3)$$.

3. Расстояние АВ можно найти, используя теорему косинусов в треугольнике АОВ: $$АВ^2 = ОА^2 + ОВ^2 - 2 imes ОА imes ОВ imes ext{cos}(120^ ext{o})$$. Так как ОА = ОВ = $$6 ext{sqrt}(3)$$, $$АВ^2 = (6 ext{sqrt}(3))^2 + (6 ext{sqrt}(3))^2 - 2 imes (6 ext{sqrt}(3))^2 imes (-rac{1}{2}) = 3 imes (6 ext{sqrt}(3))^2 = 3 imes 108 = 324$$. Следовательно, $$АВ = ext{sqrt}(324) = 18$$.