18 Найдите косинус угла АВС, изображённого на рисунке. Ответ:

Разбор задания:

Нам нужно найти косинус угла $$\angle ABC$$. Для этого мы можем использовать координаты точек A, B и C, которые можно определить по сетке.

1. Определяем координаты точек:

   Пусть точка B будет началом координат (0, 0).

   • Точка A находится на горизонтальной оси, в 4-х единицах влево от B. Значит, координаты A: (-4, 0).
   • Точка C находится на 3 единицы вправо и 4 единицы вверх от B. Значит, координаты C: (3, 4).
2. Находим векторы BA и BC:

   Вектор BA = A - B = (-4 - 0, 0 - 0) = (-4, 0).

   Вектор BC = C - B = (3 - 0, 4 - 0) = (3, 4).

3. Вычисляем косинус угла между векторами:

   Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

   \[ \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} \]

   Скалярное произведение векторов:

   \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-4)(3) + (0)(4) = -12 + 0 = -12 \]

   Длина вектора BA:

   \[ |\vec{BA}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \]

   Длина вектора BC:

   \[ |\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

   Подставляем значения в формулу косинуса:

   \[ \cos(\angle ABC) = \frac{-12}{4 \cdot 5} = \frac{-12}{20} = -\frac{3}{5} \]

Ответ:

\[ -\frac{3}{5} \]