18. Найдите в каждой трапеции на рисунке 27 неизвестные углы α или стороны x.

а) Основания трапеции параллельны, поэтому угол между диагональю и верхним основанием равен углу между диагональю и нижним основанием. Нижний левый угол равен 80°, а между боковой стороной и диагональю — 30°, значит угол между диагональю и основанием равен 80° − 30° = 50°. Следовательно, α = 50°.

б) Трапеция равнобедренная. По отметкам верхнее основание равно отрезку нижнего основания от левого конца до основания внутреннего отрезка. Поэтому внутренний отрезок и правая боковая сторона имеют одинаковые горизонтальные смещения и одинаковую высоту; они симметричны относительно вертикали. Угол между ними равен 30°, значит каждая из них образует с вертикалью угол 15°. Тогда α = 90° − 15° = 75°.

в) Опустим перпендикуляр из правой верхней вершины на нижнее основание. Получается прямоугольный треугольник с горизонтальным катетом 2. Трапеция равнобедренная, поэтому горизонтальные смещения у обоих концов равны 2. Нижнее основание равно 5 + 2 = 7, а также равно x + 2 + 2. Поэтому x = 3.

г) По отметкам точка пересечения диагоналей равноудалена от концов нижнего основания, то есть лежит над его серединой. Для трапеции с основаниями 5 и x точка пересечения диагоналей делит диагонали в отношении оснований; её расстояние от левого конца нижнего основания составляет долю 5/(5 + x) от длины нижнего основания. Условие, что эта точка находится над серединой нижнего основания, даёт 5/(5 + x) = 1/2, откуда x = 5.

д) По видимым отметкам верхнее основание равно внешнему отрезку справа, а боковые стороны трапеции равны. Угол 50° задан во внешнем треугольнике, но он не задаёт однозначно форму трапеции: длина нижнего основания не указана, и угол между диагоналями α может меняться при изменении этой длины. Поэтому определить α по видимым данным нельзя.

е) Отметки показывают, что диагональ равна нижнему основанию, а боковые стороны трапеции равны. В треугольнике, образованном диагональю, правой боковой стороной и нижним основанием, углы при верхней правой и нижней правой вершинах равны; нижний правый угол обозначен α. Нижние углы равнобедренной трапеции также равны, поэтому нижний левый угол равен α. Угол нижнего левого треугольника равен 180° − 2α, а весь угол при нижней левой вершине трапеции состоит из этого угла и 30°. Следовательно, α = 30° + (180° − 2α), откуда 3α = 210° и α = 70°.

Ответ: а) 50°; б) 75°; в) x = 3; г) x = 5; д) данных недостаточно; е) 70°.