18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (a + 5) sin²x - 2(a² + 5a) sinx + 6a² + 21a - 45 = 0 имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Это квадратное уравнение относительно sin x. Обозначим t = sin x. Тогда уравнение примет вид:

\[ (a+5)t^2 - 2(a^2+5a)t + (6a^2+21a-45) = 0 \]

Чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы либо у этого квадратного уравнения были действительные корни, и хотя бы один из них лежал в отрезке [-1, 1], либо уравнение было линейным (когда коэффициент при t^2 равен нулю).

1. Случай 1: a + 5 = 0, то есть a = -5.
• Уравнение становится линейным: 0 * t^2 - 2((-5)^2 + 5(-5))t + (6(-5)^2 + 21(-5) - 45) = 0
• 0 * t^2 - 2(25 - 25)t + (6*25 - 105 - 45) = 0
• 0 * t^2 - 0 * t + (150 - 105 - 45) = 0
• 0 = 0

Это равенство верно при любом t. Так как t = sin x, а sin x может принимать любые значения от -1 до 1, то при a = -5 уравнение всегда имеет решение.

2. Случай 2: a + 5 != 0.
• Это квадратное уравнение относительно t = sin x. Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень t, удовлетворяющий условию -1 <= t <= 1, нужно рассмотреть дискриминант и корни.
• Разложим свободный член на множители. Попробуем найти корни уравнения, подставив некоторые значения a.
• Заметим, что a^2 + 5a = a(a+5).
• Уравнение имеет вид: (a+5)t^2 - 2a(a+5)t + (6a^2+21a-45) = 0
• Рассмотрим корни как функцию от a.
• Пусть t_1 и t_2 — корни квадратного уравнения.
• Если t = 1 является корнем, то:
• (a+5) - 2(a^2+5a) + (6a^2+21a-45) = 0
• a+5 - 2a^2 - 10a + 6a^2 + 21a - 45 = 0
• 4a^2 + 12a - 40 = 0
• a^2 + 3a - 10 = 0
• (a+5)(a-2) = 0
• Отсюда a = -5 (уже рассмотрено) или a = 2.
• Если a = 2, уравнение принимает вид:
• (2+5)t^2 - 2(2^2+5*2)t + (6*2^2+21*2-45) = 0
• 7t^2 - 2(4+10)t + (6*4+42-45) = 0
• 7t^2 - 28t + (24+42-45) = 0
• 7t^2 - 28t + 21 = 0
• t^2 - 4t + 3 = 0
• (t-1)(t-3) = 0
• Корни: t=1 и t=3. Так как t=sin x, то t=1 является решением. Следовательно, при a=2 уравнение имеет решение.
• Если t = -1 является корнем, то:
• (a+5)(-1)^2 - 2(a^2+5a)(-1) + (6a^2+21a-45) = 0
• a+5 + 2a^2 + 10a + 6a^2 + 21a - 45 = 0
• 8a^2 + 32a - 40 = 0
• a^2 + 4a - 5 = 0
• (a+5)(a-1) = 0
• Отсюда a = -5 (уже рассмотрено) или a = 1.
• Если a = 1, уравнение принимает вид:
• (1+5)t^2 - 2(1^2+5*1)t + (6*1^2+21*1-45) = 0
• 6t^2 - 2(1+5)t + (6+21-45) = 0
• 6t^2 - 12t + (27-45) = 0
• 6t^2 - 12t - 18 = 0
• t^2 - 2t - 3 = 0
• (t-3)(t+1) = 0
• Корни: t=3 и t=-1. Так как t=sin x, то t=-1 является решением. Следовательно, при a=1 уравнение имеет решение.
• Теперь рассмотрим случай, когда оба корня t_1 и t_2 находятся вне отрезка [-1, 1] или один из них находится в отрезке [-1, 1].
• Дискриминант: D = (2(a^2+5a))^2 - 4(a+5)(6a^2+21a-45)
• D = 4a^2(a+5)^2 - 4(a+5)(6a^2+21a-45)
• D/4 = a^2(a+5)^2 - (a+5)(6a^2+21a-45)
• D/4 = (a+5) [a^2(a+5) - (6a^2+21a-45)]
• D/4 = (a+5) [a^3+5a^2 - 6a^2-21a+45]
• D/4 = (a+5) [a^3-a^2-21a+45]
• Рассмотрим многочлен P(a) = a^3-a^2-21a+45.
• P(-3) = (-3)^3 - (-3)^2 - 21(-3) + 45 = -27 - 9 + 63 + 45 = 72 != 0
• P(3) = 3^3 - 3^2 - 21*3 + 45 = 27 - 9 - 63 + 45 = 0. Значит, (a-3) является множителем.
• Разделим a^3-a^2-21a+45 на (a-3):
• (a^3-a^2-21a+45) / (a-3) = a^2+2a-15
• a^2+2a-15 = (a+5)(a-3)
• Итак, P(a) = (a-3)(a+5)(a-3) = (a-3)^2(a+5)
• D/4 = (a+5) * (a-3)^2(a+5) = (a+5)^2(a-3)^2 = ((a+5)(a-3))^2 = (a^2+2a-15)^2
• D = 4(a^2+2a-15)^2
• Корни: t = (2(a^2+5a) ± 2(a^2+2a-15)) / (2(a+5))
• t = (a^2+5a ± (a^2+2a-15)) / (a+5)
• t_1 = (a^2+5a + a^2+2a-15) / (a+5) = (2a^2+7a-15) / (a+5)
• Разложим числитель: 2a^2+7a-15 = (2a-3)(a+5)
• t_1 = (2a-3)(a+5) / (a+5) = 2a-3 (при a != -5)
• t_2 = (a^2+5a - (a^2+2a-15)) / (a+5) = (a^2+5a - a^2-2a+15) / (a+5) = (3a+15) / (a+5)
• t_2 = 3(a+5) / (a+5) = 3 (при a != -5)
• Итак, корни уравнения: t_1 = 2a-3 и t_2 = 3.
• Так как t = sin x, то t_2 = 3 никогда не является решением, так как 3 > 1.
• Единственный возможный корень — t_1 = 2a-3.
• Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы -1 <= 2a-3 <= 1.
• -1 <= 2a-3 => 2 <= 2a => a >= 1.
• 2a-3 <= 1 => 2a <= 4 => a <= 2.
• Таким образом, 1 <= a <= 2.

Объединяя все случаи:

• Из Случая 1: a = -5.
• Из Случая 2: a = 1, a = 2, а также интервал [1, 2].

Объединяя эти значения, получаем: a = -5, a = 1, a = 2, а также все значения из интервала [1, 2]. Это означает, что a может быть равен -5 или принадлежать отрезку [1, 2].

Ответ: a = -5 или a ∈ [1, 2]