18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |x + a²| = |a + x²| имеет ровно три различных корня.

Краткое пояснение:

Уравнение вида |A| = |B| равносильно двум уравнениям: A = B и A = -B. Мы проанализируем эти два случая, чтобы найти значения параметра 'a', при которых исходное уравнение имеет ровно три различных корня.

Пошаговое решение:

• Случай 1: x + a² = a + x²
• Перенесем все члены в одну сторону: x - x² + a² - a = 0
• Выделим группы: (x - x²) + (a² - a) = 0
• Вынесем общие множители: x(1 - x) + a(a - 1) = 0
• Изменим знак во второй группе: x(1 - x) - a(1 - a) = 0
• Факторизуем: (1 - x)(x - a) = 0
• Это дает два возможных корня: x = 1 и x = a.
• Случай 2: x + a² = -(a + x²)
• Раскроем скобки: x + a² = -a - x²
• Перенесем все члены в одну сторону: x² + x + a² + a = 0
• Это квадратное уравнение относительно x. Чтобы найти его корни, используем дискриминант: D = b² - 4ac
• В данном случае, a=1, b=1, c=a²+a.
• D = 1² - 4(1)(a² + a) = 1 - 4a² - 4a
• Для наличия действительных корней, D ≥ 0: 1 - 4a² - 4a ≥ 0
• Умножим на -1 и сменим знак неравенства: 4a² + 4a - 1 ≤ 0
• Найдем корни квадратного уравнения 4a² + 4a - 1 = 0, используя формулу корней квадратного уравнения: \( a = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \)
• \( a = \frac{{-4 \pm \sqrt{{4^2 - 4(4)(-1)}}}}{{2(4)}} = \frac{{-4 \pm \sqrt{{16 + 16}}}}{{8}} = \frac{{-4 \pm \sqrt{{32}}}}{{8}} = \frac{{-4 \pm 4\sqrt{{2}}}}{{8}} = \frac{{-1 \pm \sqrt{{2}}}}{{2}} \)
• Корни: \( a_1 = \frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}} \) и \( a_2 = \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}} \).
• Таким образом, неравенство 4a² + 4a - 1 ≤ 0 выполняется для \( a \in [\frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}}, \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}}] \).
• Анализ количества корней:
• Исходное уравнение имеет ровно три различных корня.
• Корни из первого случая: x = 1 и x = a.
• Корни из второго случая (квадратное уравнение) зависят от дискриминанта D.
• Ситуации, приводящие к трем различным корням:
• 1. x = a совпадает с одним из корней квадратного уравнения, и x = 1 является третьим корнем.
• * Если x = a является корнем квадратного уравнения, то: a² + a + a² + a = 0 => 2a² + 2a = 0 => 2a(a + 1) = 0. Это дает a = 0 или a = -1.
• * При a = 0: Корни первого случая: x = 1, x = 0. Квадратное уравнение: x² + x = 0 => x(x+1) = 0 => x = 0, x = -1. Общие корни: x = 0. Уникальные корни: x = 1, x = -1. Всего 2 корня.
• * При a = -1: Корни первого случая: x = 1, x = -1. Квадратное уравнение: x² + x + (-1)² + (-1) = 0 => x² + x = 0 => x(x+1) = 0 => x = 0, x = -1. Общие корни: x = -1. Уникальные корни: x = 1, x = 0. Всего 2 корня.
• 2. x = 1 совпадает с одним из корней квадратного уравнения, и x = a является третьим корнем.
• * Если x = 1 является корнем квадратного уравнения, то: 1² + 1 + a² + a = 0 => 2 + a² + a = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения относительно 'a' равен 1² - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0. Следовательно, действительных 'a' нет, при которых x=1 было бы корнем квадратного уравнения.
• 3. x = a совпадает с x = 1, и квадратное уравнение имеет один уникальный корень (D=0).
• * Если x = a = 1, то a = 1. Квадратное уравнение: x² + x + 1² + 1 = 0 => x² + x + 2 = 0. Дискриминант = 1² - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0. Нет действительных корней.
• 4. x = a совпадает с одним из корней квадратного уравнения, и x = 1 является корнем квадратного уравнения, но D=0 (т.е. квадратное уравнение имеет один корень).
• * Это невозможно, так как мы показали, что x=1 не может быть корнем квадратного уравнения.
• 5. x = a и x = 1 являются двумя различными корнями, и квадратное уравнение имеет один уникальный корень, который отличается от 1 и a.
• * Это означает, что D = 0 для квадратного уравнения: 4a² + 4a - 1 = 0. Корни: \( a_1 = \frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}} \) и \( a_2 = \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}} \).
• * При \( a = \frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}} \): x = 1, x = \( \frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}} \). Квадратное уравнение имеет один корень: \( x = \frac{{-1}}{2} \). Проверим, отличается ли \( \frac{{-1}}{2} \) от 1 и \( \frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}} \). Да, отличается. Итого 3 корня: 1, \( \frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}} \), \( \frac{{-1}}{2} \).
• * При \( a = \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}} \): x = 1, x = \( \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}} \). Квадратное уравнение имеет один корень: \( x = \frac{{-1}}{2} \). Проверим, отличается ли \( \frac{{-1}}{2} \) от 1 и \( \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}} \). Да, отличается. Итого 3 корня: 1, \( \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}} \), \( \frac{{-1}}{2} \).
• 6. x = 1 и x = a являются двумя различными корнями, и квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен 1 (что невозможно, см. п.2), а другой отличается от 1 и a.
• 7. x = a и x = 1 являются двумя различными корнями, и квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен a (что рассмотрено в п.1), а другой отличается от 1 и a.
• * Нам нужно, чтобы квадратное уравнение имело два корня, один из которых равен 'a', а другой не равен ни 1, ни 'a', и при этом D > 0.
• * Мы уже выяснили, что если x = a является корнем квадратного уравнения, то a = 0 или a = -1.
• * При a = 0: корни x=1, x=0. Уравнение x²+x=0 дает корни x=0, x=-1. Уникальные корни: 1, -1. Всего 2 корня.
• * При a = -1: корни x=1, x=-1. Уравнение x²+x=0 дает корни x=0, x=-1. Уникальные корни: 1, 0. Всего 2 корня.
• 8. x = 1 и x = a являются двумя различными корнями, и квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен 1 (невозможно), а другой равен 'a'.
• 9. x = 1 и x = a являются двумя различными корнями, и квадратное уравнение имеет два корня, оба из которых не равны 1 и не равны 'a'.
• * Это происходит, когда D > 0, и корни квадратного уравнения не совпадают с 1 и 'a'.
• * D = 1 - 4a² - 4a > 0, что выполняется для \( a \in (\frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}}, \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}}) \).
• * Нам нужно исключить случаи, когда корни квадратного уравнения равны 1 или 'a'.
• * Если корень квадратного уравнения равен 1: 1² + 1 + a² + a = 0 => a² + a + 2 = 0. Дискриминант < 0, нет таких 'a'.
• * Если корень квадратного уравнения равен 'a': a² + a + a² + a = 0 => 2a² + 2a = 0 => 2a(a+1) = 0 => a = 0 или a = -1.
• * При a = 0: D = 1 > 0. Корни квадратного уравнения: x = 0, x = -1. Корни первого случая: x = 1, x = 0. Общий корень x=0. Уникальные: 1, -1. Всего 2 корня.
• * При a = -1: D = 1 - 4(-1)² - 4(-1) = 1 - 4 + 4 = 1 > 0. Корни квадратного уравнения: x² + x + (-1)² + (-1) = 0 => x² + x = 0 => x(x+1) = 0 => x = 0, x = -1. Корни первого случая: x = 1, x = -1. Общий корень x = -1. Уникальные: 1, 0. Всего 2 корня.
• Итак, чтобы получить ровно три различных корня, нужно, чтобы:
• * Дискриминант квадратного уравнения D > 0, то есть \( a \in (\frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}}, \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}}) \).
• * И при этом корни квадратного уравнения не совпадали с корнями первого случая (x=1 и x=a).
• * Мы уже проверили, что x=1 не может быть корнем квадратного уравнения.
• * Нам нужно, чтобы корень квадратного уравнения x=a не совпадал с x=1. Это выполняется, если a ≠ 1.
• * Нам нужно, чтобы другой корень квадратного уравнения не совпадал с x=1 и x=a.
• * Случай, когда D=0, дает нам 3 корня. Это происходит при \( a = \frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}} \) и \( a = \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}} \).
• * В этих случаях квадратное уравнение имеет один корень \( x = -\frac{1}{2} \).
• * При \( a = \frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}} \), корни: x=1, x=\(rac{{-1 - ext{sqrt}(2)}}{{2}}\\) и x = -1/2. Эти три корня различны.
• * При \( a = \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}} \), корни: x=1, x=\(rac{{-1 + ext{sqrt}(2)}}{{2}}\\) и x = -1/2. Эти три корня различны.
• Вывод:
• Чтобы получить ровно три различных корня, необходимо, чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю (D=0), или чтобы один из корней квадратного уравнения совпадал с 'a', а другой был уникален (но это не дало 3 корня).
• Таким образом, значение 'a' должно удовлетворять условию D = 0.
• \( 4a^2 + 4a - 1 = 0 \)
• Корни этого уравнения: \( a = \frac{{-1 \pm \sqrt{{2}}}}{{2}} \).

Ответ: \( a = \frac{{-1 - \sqrt{{2}}}}{{2}} \) и \( a = \frac{{-1 + \sqrt{{2}}}}{{2}} \)