18. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (x+7-|x-a|)² - 13a(x+7-|x-a|) + 30a² + 21a - 9 = 0 имеет ровно два решения.

Решение:

Пусть \( y = |x+7| - |x-a| \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 13ay + 30a^2 + 21a - 9 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D_y = (13a)^2 - 4(30a^2 + 21a - 9) = 169a^2 - 120a^2 - 84a + 36 = 49a^2 - 84a + 36 = (7a - 6)^2 \]

Тогда \( y = \frac{13a \pm \sqrt{(7a-6)^2}}{2} = \frac{13a \pm (7a-6)}{2} \).

Получаем два возможных значения для \( y \):

\[ y_1 = \frac{13a + (7a - 6)}{2} = \frac{20a - 6}{2} = 10a - 3 \]

\[ y_2 = \frac{13a - (7a - 6)}{2} = \frac{6a + 6}{2} = 3a + 3 \]

Теперь рассмотрим функцию \( y = |x+7| - |x-a| \). График этой функции является ломаной линией, которая имеет три участка:

• При \( x < -7 \): \( y = -(x+7) - (-(x-a)) = -x - 7 + x - a = -7 - a \).
• При \( -7 \le x < a \) (предполагая \( a > -7 \)): \( y = (x+7) - (-(x-a)) = x + 7 + x - a = 2x + 7 - a \).
• При \( x \ge a \): \( y = (x+7) - (x-a) = x + 7 - x + a = 7 + a \).

Если \( a \le -7 \), то:

• При \( x < a \): \( y = -(x+7) - (-(x-a)) = -7 - a \).
• При \( a \le x < -7 \): \( y = -(x+7) - (x-a) = -x - 7 - x + a = -2x - 7 + a \).
• При \( x \ge -7 \): \( y = (x+7) - (x-a) = 7 + a \).

Функция \( |x+7| - |x-a| \) принимает значения от \( -7-a \) до \( 7+a \).

Нам нужно, чтобы уравнение \( |x+7| - |x-a| = y_1 \) или \( |x+7| - |x-a| = y_2 \) имело ровно два решения для \( x \) для каждого \( y_1 \) и \( y_2 \).

Рассмотрим случай \( a > -7 \). График \( y = |x+7| - |x-a| \) имеет вид:

• Горизонтальная линия \( y = -7-a \) на \( (-\infty, -7) \)
• Восходящая линия \( y = 2x + 7 - a \) на \( [-7, a) \)
• Горизонтальная линия \( y = 7+a \) на \( [a, \infty) \)

Чтобы получить ровно два решения, одна из линий \( y = 10a-3 \) или \( y = 3a+3 \) должна совпадать с одной из горизонтальных линий, а другая линия должна пересекать наклонную часть графика ровно один раз. Либо обе линии должны пересекать наклонную часть ровно по одному разу.

Случай 1: Одна из \( y_1, y_2 \) совпадает с \( 7+a \), а другая совпадает с \( -7-a \).

Если \( 10a - 3 = 7+a \) и \( 3a + 3 = -7-a \):

\( 9a = 10 \Rightarrow a = \frac{10}{9} \)

\( 4a = -10 \Rightarrow a = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \)

Значения \( a \) не совпадают.

Если \( 3a + 3 = 7+a \) и \( 10a - 3 = -7-a \):

\( 2a = 4 \Rightarrow a = 2 \)

\( 11a = -4 \Rightarrow a = -\frac{4}{11} \)

Значения \( a \) не совпадают.

Случай 2: Одна из \( y_1, y_2 \) совпадает с \( 7+a \) или \( -7-a \), а другая пересекает наклонную часть ровно один раз.

Если \( 10a - 3 = 7+a \) (т.е. \( a = 10/9 \)), то \( y_1 = 7+a \). Тогда \( y_2 = 3a+3 = 3(10/9)+3 = 10/3+3 = 19/3 \).

Нам нужно, чтобы \( y_2 = 19/3 \) пересекала наклонный участок \( y = 2x + 7 - a \) ровно один раз. Наклонный участок от \( -7-a \) до \( 7+a \).

\( 19/3 = 2x + 7 - 10/9 \) => \( 19/3 = 2x + 53/9 \) => \( 2x = 19/3 - 53/9 = 57/9 - 53/9 = 4/9 \) => \( x = 2/9 \).

Значение \( x=2/9 \) находится в интервале \( [-7, a) = [-7, 10/9) \). То есть \( -7 ≤ 2/9 < 10/9 \) - верно. Значит, \( a = 10/9 \) — подходит.

Если \( 3a + 3 = 7+a \) (т.е. \( a = 2 \)), то \( y_2 = 7+a \). Тогда \( y_1 = 10a-3 = 10(2)-3 = 17 \).

Нам нужно, чтобы \( y_1 = 17 \) пересекала наклонный участок \( y = 2x + 7 - a \) ровно один раз.

\( 17 = 2x + 7 - 2 \) => \( 17 = 2x + 5 \) => \( 2x = 12 \) => \( x = 6 \).

Значение \( x=6 \) находится в интервале \( [-7, a) = [-7, 2) \) - неверно. Значит, \( a = 2 \) не подходит.

Если \( 10a - 3 = -7-a \) (т.е. \( a = -4/11 \)), то \( y_1 = -7-a \). Тогда \( y_2 = 3a+3 = 3(-4/11)+3 = -12/11+3 = 21/11 \).

Нам нужно, чтобы \( y_2 = 21/11 \) пересекала наклонный участок \( y = 2x + 7 - a \) ровно один раз.

\( 21/11 = 2x + 7 - (-4/11) \) => \( 21/11 = 2x + 7 + 4/11 \) => \( 21/11 = 2x + 81/11 \) => \( 2x = 21/11 - 81/11 = -60/11 \) => \( x = -30/11 \).

Значение \( x=-30/11 \) находится в интервале \( [-7, a) = [-7, -4/11) \). То есть \( -7 ≤ -30/11 < -4/11 \) - верно. Значит, \( a = -4/11 \) — подходит.

Если \( 3a + 3 = -7-a \) (т.е. \( a = -5/2 \)), то \( y_2 = -7-a \). Тогда \( y_1 = 10a-3 = 10(-5/2)-3 = -25-3 = -28 \).

Нам нужно, чтобы \( y_1 = -28 \) пересекала наклонный участок \( y = 2x + 7 - a \) ровно один раз.

\( -28 = 2x + 7 - (-5/2) \) => \( -28 = 2x + 7 + 5/2 \) => \( -28 = 2x + 19/2 \) => \( 2x = -28 - 19/2 = -56/2 - 19/2 = -75/2 \) => \( x = -75/4 \).

Значение \( x=-75/4 \) находится в интервале \( [-7, a) = [-7, -5/2) \). То есть \( -7 ≤ -75/4 < -5/2 \) - неверно, так как \( -75/4 = -18.75 \) и \( -7 \) больше. Значит, \( a = -5/2 \) не подходит.

Случай 3: Обе линии \( y_1, y_2 \) пересекают наклонный участок ровно по одному разу.

Это происходит, когда \( -7-a < y_1 < 7+a \) и \( -7-a < y_2 < 7+a \), и \( y_1
e y_2 \).

\( -7-a < 10a-3 < 7+a \) => \( -7-a < 10a-3 ⇒ -4 < 11a ⇒ a > -4/11 \) и \( 10a-3 < 7+a ⇒ 9a < 10 ⇒ a < 10/9 \).

\( -7-a < 3a+3 < 7+a \) => \( -7-a < 3a+3 ⇒ -10 < 4a ⇒ a > -10/4 = -5/2 \) и \( 3a+3 < 7+a ⇒ 2a < 4 ⇒ a < 2 \).

Объединяя условия: \( a > -4/11 \) и \( a < 10/9 \). В этом интервале \( y_1
e y_2 \).

Случай 4: Одна из \( y_1, y_2 \) совпадает с \( 7+a \), а другая с \( 7+a \) (то есть \( y_1 = y_2 \)).

\( 10a-3 = 3a+3 \) => \( 7a = 6 \) => \( a = 6/7 \). В этом случае \( y_1 = y_2 = 10(6/7)-3 = 60/7-21/7 = 39/7 \).

\( 7+a = 7+6/7 = 55/7 \). \( -7-a = -7-6/7 = -55/7 \).

\( y = 39/7 \) не совпадает ни с \( 7+a \) ни с \( -7-a \).

Случай 5: Одна из \( y_1, y_2 \) совпадает с \( -7-a \), а другая с \( -7-a \) (то есть \( y_1 = y_2 \)).

Это тоже \( a = 6/7 \).

Рассмотрим случай \( a ≤ -7 \).

График \( y = |x+7| - |x-a| \) имеет вид:

• Горизонтальная линия \( y = -7-a \) на \( (-\infty, a) \)
• Нисходящая линия \( y = -2x - 7 + a \) на \( [a, -7) \)
• Горизонтальная линия \( y = 7+a \) на \( [-7, \infty) \)

Чтобы получить ровно два решения, одна из линий \( y = 10a-3 \) или \( y = 3a+3 \) должна совпадать с одной из горизонтальных линий, а другая линия должна пересекать наклонную часть графика ровно один раз.

Если \( 10a - 3 = -7-a \) (т.е. \( a = -4/11 \)). Но \( a ≤ -7 \), значит, это не подходит.

Если \( 3a + 3 = -7-a \) (т.е. \( a = -5/2 \)). Но \( a ≤ -7 \), значит, это не подходит.

Если \( 10a - 3 = 7+a \) (т.е. \( a = 10/9 \)). Но \( a ≤ -7 \), значит, это не подходит.

Если \( 3a + 3 = 7+a \) (т.е. \( a = 2 \)). Но \( a ≤ -7 \), значит, это не подходит.

Случай 6: Обе линии \( y_1, y_2 \) пересекают наклонный участок ровно по одному разу.

\( -7-a < 10a-3 < 7+a \) и \( -7-a < 3a+3 < 7+a \).

Нам нужно, чтобы \( a ≤ -7 \).

\( -7-a < 10a-3 ⇒ -4 < 11a ⇒ a > -4/11 \). Это противоречит \( a ≤ -7 \).

Случай 7: Одна из \( y_1, y_2 \) совпадает с \( 7+a \), а другая с \( 7+a \) (т.е. \( y_1 = y_2 \))

\( a = 6/7 \). Это не удовлетворяет \( a ≤ -7 \).

Случай 8: Обе \( y_1, y_2 \) совпадают с \( -7-a \) и \( 7+a \)

Уже рассмотрено в Случае 1.

Случай 9: Обе \( y_1, y_2 \) совпадают с \( 7+a \)

\( a = 6/7 \). Значит \( y_1 = y_2 = 7+6/7 = 55/7 \).

\( 7+a = 7+6/7 = 55/7 \).

\( y = 55/7 \) должно совпадать с \( -7-a \) или \( 7+a \).

\( 55/7 = -7-6/7 = -55/7 \) - ложь.

\( 55/7 = 7+6/7 = 55/7 \) - истина.

В этом случае \( y_1 = y_2 = 55/7 \). Нам нужно, чтобы \( |x+7|-|x-6/7| = 55/7 \) имело ровно два решения.

При \( x ≥ 6/7 \), \( |x+7|-|x-6/7| = (x+7)-(x-6/7) = 7+6/7 = 55/7 \). Это верно для всех \( x ≥ 6/7 \), что дает бесконечное число решений.

Случай 10: Обе \( y_1, y_2 \) совпадают с \( -7-a \)

\( a = 6/7 \). Значит \( y_1 = y_2 = -7-a = -7-6/7 = -55/7 \).

\( y = -55/7 \) должно совпадать с \( -7-a \) или \( 7+a \).

\( -55/7 = -7-6/7 = -55/7 \) - истина.

\( -55/7 = 7+6/7 = 55/7 \) - ложь.

В этом случае \( y_1 = y_2 = -55/7 \). Нам нужно, чтобы \( |x+7|-|x-6/7| = -55/7 \) имело ровно два решения.

При \( x < -7 \), \( |x+7|-|x-6/7| = -(x+7)-(-(x-6/7)) = -x-7+x-6/7 = -7-6/7 = -55/7 \). Это верно для всех \( x < -7 \), что дает бесконечное число решений.

Итог:

Мы нашли два подходящих значения \( a \):

1. \( a = 10/9 \): \( y_1 = 7+10/9 = 73/9 \), \( y_2 = 3(10/9)+3 = 10/3+3 = 19/3 \).

2. \( a = -4/11 \): \( y_1 = -7-(-4/11) = -7+4/11 = -73/11 \), \( y_2 = 3(-4/11)+3 = -12/11+3 = 21/11 \).

Перепроверка для \( a=10/9 \):

\( y_1 = 7+10/9 = 73/9 \), \( y_2 = 19/3 \).

\( y = |x+7| - |x-10/9| \).

При \( x ≥ 10/9 \), \( y = 7+10/9 = 73/9 \). Это дает одно решение \( y_1=73/9 \).

При \( -7 ≤ x < 10/9 \), \( y = 2x + 7 - 10/9 = 2x + 53/9 \).

\( y_2 = 19/3 \). \( 19/3 = 2x + 53/9 \) => \( 57/9 = 2x + 53/9 \) => \( 2x = 4/9 \) => \( x = 2/9 \). Это решение лежит в интервале \( [-7, 10/9) \).

При \( x < -7 \), \( y = -7-10/9 = -73/9 \).

Таким образом, для \( a=10/9 \), \( y_1 = 73/9 \) дает одно решение \( x ≥ 10/9 \), и \( y_2 = 19/3 \) дает одно решение \( x = 2/9 \). Итого два решения.

Перепроверка для \( a=-4/11 \):

\( y_1 = -7-(-4/11) = -73/11 \), \( y_2 = 21/11 \).

\( y = |x+7| - |x-(-4/11)| = |x+7| - |x+4/11| \).

При \( x ≥ -4/11 \), \( y = 7 - (-4/11) = 7+4/11 = 81/11 \).

При \( -7 ≤ x < -4/11 \), \( y = 2x + 7 - (-4/11) = 2x + 7 + 4/11 = 2x + 81/11 \).

При \( x < -7 \), \( y = -7 - (-4/11) = -7 + 4/11 = -73/11 \).

\( y_1 = -73/11 \) дает одно решение \( x < -7 \).

\( y_2 = 21/11 \). \( 21/11 = 2x + 81/11 \) => \( 2x = 21/11 - 81/11 = -60/11 \) => \( x = -30/11 \). Это решение лежит в интервале \( [-7, -4/11) \).

Таким образом, для \( a=-4/11 \), \( y_1 = -73/11 \) дает одно решение \( x < -7 \), и \( y_2 = 21/11 \) дает одно решение \( x = -30/11 \). Итого два решения.

Ответ: \( a = \frac{10}{9} \) и \( a = -\frac{4}{11} \).