18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) $q=-\frac12$, $b_1=\frac18$; 2) $q=\frac13$, $b_5=\frac1{81}$; 3) $q=-\frac13$, $b_1=9$; 4) $q=-\frac12$, $b_4=\frac18$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) $q=-\frac12$, $b_1=\frac18$; 2) $q=\frac13$,…$ Фото задания

18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) $q=-\frac12$, $b_1=\frac18$; 2) $q=\frac13$, $b_5=\frac1{81}$; 3) $q=-\frac13$, $b_1=9$; 4) $q=-\frac12$, $b_4=\frac18$.

Accepted Answer

Для бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S=\frac{b_1}{1-q}$, если $|q|<1$.

\[S=\frac{\frac18}{1-\left(-\frac12\right)}=\frac{\frac18}{\frac32}=\frac1{12}.\]
Сначала найдём первый член: $b_5=b_1q^4$, поэтому
\[b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{\frac1{81}}{\left(\frac13\right)^4}=\frac{\frac1{81}}{\frac1{81}}=1.\]
Тогда
\[S=\frac{1}{1-\frac13}=\frac{1}{\frac23}=\frac32.\]
\[S=\frac{9}{1-\left(-\frac13\right)}=\frac{9}{\frac43}=\frac{27}{4}.\]
Используем формулу $b_4=b_1q^3$:
\[b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{\frac18}{\left(-\frac12\right)^3}=\frac{\frac18}{-\frac18}=-1.\]
Тогда
\[S=\frac{-1}{1-\left(-\frac12\right)}=\frac{-1}{\frac32}=-\frac23.\]

Ответ: 1) $\frac1{12}$; 2) $\frac32$; 3) $\frac{27}{4}$; 4) $-\frac23$.

18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) \(q=-\frac12\), \(b_1=\frac18\); 2) \(q=\frac13\), \(b_5=\frac1{81}\); 3) \(q=-\frac13\), \(b_1=9\); 4) \(q=-\frac12\), \(b_4=\frac18\).

Ответ: