18 Найти все решения не заданном промежутке sin x < -\(\frac{\sqrt{2}}{2} [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\)

Решение:

Нам нужно найти значения \( x \) на промежутке \( [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \), для которых \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Сначала найдём углы, для которых \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Эти углы равны \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

На тригонометрической окружности условие \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \) соответствует дуге, лежащей ниже уровня \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Это интервал углов от \( -\frac{3\pi}{4} \) до \( -\frac{\pi}{4} \) (против часовой стрелки).

Теперь рассмотрим заданный промежуток \( [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \).

На этом промежутке интервалы, где \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \), будут следующими:

• Начало интервала: \( -\frac{3\pi}{2} \). В этой точке \( \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1 \), что больше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Первый интервал, где \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \) на нашем отрезке, начинается после \( -\frac{3\pi}{2} \) и идёт до \( -\frac{3\pi}{4} \). Это интервал \( (-\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{4}) \).
• Следующий интервал, где \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \), начинается сразу после \( -\frac{\pi}{4} \) и продолжается до конца отрезка \( 2\pi \). Это интервал \( (-\frac{\pi}{4}; 2\pi] \).

Объединяя эти интервалы, получаем:

\( x \in (-\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{4}) \cup (-\frac{\pi}{4}; 2\pi] \).

Ответ: \( x \in (-\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{4}) \cup (-\frac{\pi}{4}; 2\pi] \).