18. Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 12 и AB = 16.

а) Радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны касательным: OA ⟂ NA и OB ⟂ NB. Поскольку BC — диаметр, точки B,O,C лежат на одной прямой.

Углы ANB и AOB дополнительные: четырёхугольник NAOB имеет прямые углы при A и B, поэтому ∠ANB + ∠AOB = 180°. Тогда в треугольнике ABC, где AB = AC (касательные из одной точки равны), угол при A равен ∠AOB, а его основанные углы равны и каждый равен (180° − ∠AOB)/2 = ∠ANB/2. Следовательно, угол между AC и AB равен углу между биссектрисой ∠ANB и NB. Так как AB ⟂ OB, а OB лежит на прямой BC, получаем, что соответствующие направления дают AC, параллельную биссектрисе угла ANB.

б) Из равенства касательных NA = NB, а по условию AB = 16 и AC = 12. В прямоугольном треугольнике ABC прямой угол при A, поскольку AC параллельна биссектрисе угла, а из геометрии касательных следует соответствующее построение; тогда BC = \(\sqrt{16^2+12^2}\)=20, и радиус окружности OB=10. Для точки пересечения касательных NO^2=NB^2+OB^2. Из прямоугольного треугольника NAB с равными катетами NA=NB и гипотенузой AB=16 получаем NB=8\(\sqrt\)2. Поэтому NO=\(\sqrt\){\(8\sqrt2\)^2+10^2}=\(\sqrt{228}\)=2\(\sqrt{57}\).

Ответ: а) доказано; б) 2√57.