18. Площадь прямоугольного треугольника равна 288 √3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

Нам дано, что площадь \( S = 288\sqrt{3} \).

Один из острых углов равен \( 60^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 60^{\circ} \).

Тогда второй острый угол \( \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Нам нужно найти длину катета, прилежащего к углу \( 60^{\circ} \). Это катет \( b \) (прилежащий к \( \angle A \) и противолежащий \( \angle B \)).

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:

\( \tan A = \frac{a}{b} \)

\( \tan 60^{\circ} = \frac{a}{b} \)

\( \sqrt{3} = \frac{a}{b} \)

Отсюда \( a = b\sqrt{3} \).

Теперь подставим это в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} (b\sqrt{3})b = \frac{1}{2} b^2 \sqrt{3} \).

Мы знаем, что \( S = 288\sqrt{3} \), поэтому:

\( 288\sqrt{3} = \frac{1}{2} b^2 \sqrt{3} \)

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\( 288 = \frac{1}{2} b^2 \)

Умножим обе части на 2:

\( b^2 = 576 \)

Извлечём квадратный корень:

\( b = \sqrt{576} \)

\( b = 24 \)

Таким образом, длина катета, прилежащего к углу \( 60^{\circ} \), равна 24.

Ответ: 24