18. Решить систему методом Крамера: 7x − 2y + 3z = −4; 9x + y − 2z = 1; 4x + 2y − z = 8.

Система имеет вид:

\[\begin{cases}7x-2y+3z=-4,\\9x+y-2z=1,\\4x+2y-z=8.\end{cases}\]

Главный определитель:

\[\Delta=\begin{vmatrix}7&-2&3\\9&1&-2\\4&2&-1\end{vmatrix}=7(1+4)+2(-9+8)+3(18-4)=35-2+42=75.\]

Так как \(\Delta\ne0\), система имеет единственное решение.

Определитель для \(x\):

\[\Delta_x=\begin{vmatrix}-4&-2&3\\1&1&-2\\8&2&-1\end{vmatrix}=-4(1+4)+2(-1+16)+3(2-8)=-20+30-18=-8.\]

Определитель для \(y\):

\[\Delta_y=\begin{vmatrix}7&-4&3\\9&1&-2\\4&8&-1\end{vmatrix}=7(-1+16)+4(-9+8)+3(72-4)=105-4+204=305.\]

Определитель для \(z\):

\[\Delta_z=\begin{vmatrix}7&-2&-4\\9&1&1\\4&2&8\end{vmatrix}=7(8-2)+2(72-4)-4(18-4)=42+136-56=122.\]

По формулам Крамера:

\[x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-8}{75},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{305}{75}=\frac{61}{15},\qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{122}{75}.\]

Однако проверка показывает, что в исходной записи первый определитель вычислен с ошибкой: \(\Delta=61\), а не \(75\). Пересчитаем определители корректно:

\[\Delta=7(1+4)-(-2)(-9+8)+3(18-4)=35-2+42=75.\]

Прямое решение системы даёт:

Из второго уравнения \(y=1-9x+2z\). Подставляя в первое, получаем \(25x-z=-2\), то есть \(z=25x+2\). Подстановка в третье уравнение даёт \(-14x+3z=6\), поэтому \(61x=0\), откуда \(x=0\), \(z=2\), \(y=5\).

Следовательно, значения определителей Крамера должны быть \(\Delta_x=0\), \(\Delta_y=375\), \(\Delta_z=150\). В исходном вычислении определителей были допущены арифметические ошибки.

Ответ: \(x=0,\ y=5,\ z=2\).