18. Решите систему уравнений: { \(\sqrt{7}\)^{x+2y} = \(\sqrt{7}\) \(\cdot\) \(\sqrt{343}\) ; 0,01^{0.5x} \(\cdot\) 10^{3y} = 10 }

Решение:

Дана система уравнений:

• \( \sqrt{7}^{x+2y} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{343} \)
• \( 0,01^{0.5x} \cdot 10^{3y} = 10 \)

Преобразуем первое уравнение:

\( \sqrt{7}^{x+2y} = 7^{1/2 · (x+2y)} \)

\( \sqrt{7} = 7^{1/2} \)

\( \sqrt{343} = \sqrt{7^3} = 7^{3/2} \)

Значит, \( \sqrt{7} \cdot \sqrt{343} = 7^{1/2} \cdot 7^{3/2} = 7^{1/2 + 3/2} = 7^{4/2} = 7^2 \).

Первое уравнение примет вид:

\[ 7^{\frac{x+2y}{2}} = 7^2 \]

Приравниваем показатели степени:

\[ \frac{x+2y}{2} = 2 \]

\[ x + 2y = 4 \]

Преобразуем второе уравнение:

\( 0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2} \)

\( 0,01^{0.5x} = (10^{-2})^{0.5x} = 10^{-2 \u00B7 0.5x} = 10^{-x} \)

Второе уравнение примет вид:

\[ 10^{-x} \cdot 10^{3y} = 10 \]

\[ 10^{-x+3y} = 10^1 \]

Приравниваем показатели степени:

\[ -x + 3y = 1 \]

Получаем новую систему уравнений:

1. \( x + 2y = 4 \)
2. \( -x + 3y = 1 \)

Сложим два уравнения, чтобы исключить \( x \):

\[ (x + 2y) + (-x + 3y) = 4 + 1 \]

\[ 5y = 5 \]

\[ y = 1 \]

Подставим \( y=1 \) в первое уравнение:

\[ x + 2(1) = 4 \]

\[ x + 2 = 4 \]

\[ x = 2 \]

Проверка:

Первое уравнение: \( \sqrt{7}^{2+2(1)} = \sqrt{7}^4 = (7^{1/2})^4 = 7^2 = 49 \). \( \sqrt{7} \cdot \sqrt{343} = 7^{1/2} \cdot 7^{3/2} = 7^2 = 49 \). Верно.

Второе уравнение: \( 0,01^{0.5(2)} \cdot 10^{3(1)} = 0,01^1 \cdot 10^3 = 0,01 \cdot 1000 = 10 \). Верно.

Ответ: x = 2, y = 1.