18. Сократите дробь \(\frac{3^{3}\cdot 25}{5^{4}\cdot 3^{2}}\)

Решение:

Чтобы сократить дробь, нужно разложить числа на простые множители и использовать свойства степеней.

1. Представим число 25 как степень числа 5: \( 25 = 5^{2} \).
2. Подставим это в дробь: \[ \frac{3^{3}\cdot 5^{2}}{5^{4}\cdot 3^{2}} \]
3. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \).
4. Сократим степени числа 3: \( \frac{3^{3}}{3^{2}} = 3^{3-2} = 3^{1} = 3 \).
5. Сократим степени числа 5: \( \frac{5^{2}}{5^{4}} = 5^{2-4} = 5^{-2} = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25} \).
6. Перемножим полученные результаты: \[ 3 \cdot \frac{1}{25} = \frac{3}{25} \]

Ответ: \(\frac{3}{25}\)